Задача 38438 ...
Условие
1) y=x^2 √(8-x^2 ), y=0 (0≤x≤2√2).
2) x=√(4-y^2 ), x=0, y=1.
3) y=x^2 √(16-x^2 ), y=0 (0≤x≤4).
4)y=x√(36-x^2 ),y=0 (0≤x≤6).
Решение
S= ∫ ^(2√2)_(0) x^2*√(8-x^2)dx
Считаем интеграл заменой переменной.
Применяем тригонометрические подстановки
x=2√2 sint
8-x^2=8=8sin^2t=8*(1-sin^2t)=8*cos^2t
√(8-x^2)=2√2cost
dx=2√2 cost dt
Меняем пределы интегрирования:
x=2√2
2√2=2√2sint; sint=1⇒ t=π/2
x=0
t=0
S= ∫ ^(π/2)_(0) (8sin^2t)*(2√2cost)*(2√2 cost dt)=
=64 ∫ ^(π/2)_(0) (sintcost)^2dt=
=16∫ ^(π/2)_(0) (sin2t)^2dt=
=8∫ ^(π/2)_(0) (1-cos4t)dt=
=8*(t-(1/4)sin4t)| ^(π/2)_(0)=8*(π/2)= [b]4π[/b]
2)
S= ∫ ^(1)_(0) √(4-y^2)dy=
=((y/2)*sqrt(4-y^2)+2arcsin(y/2))|^(1)_(0)=
=(1/2)sqrt(3)+2arcsin(1/2)-0-2arcsin0=
=(1/2)sqrt(3)+2*(π/6)= [b](sqrt(3)/2)+(π/3)[/b]
3)
S= ∫ ^(4)_(0) x^2*√(16-x^2)dx
Считаем интеграл заменой переменной
Применяем тригонометрические подстановки
x=4sint
16-x^2=16-16sin^2t=16*(1-sin^2t)=16*cos^2t
√(16-x^2)=4cost
dx=4cost dt
Меняем пределы интегрирования:
x=4
4=4sint
sint=1
х=4 ⇒ t=π/2
x=0 ⇒ t=0
S= ∫ ^(π/2)_(0) (16sin^2t)*(4cost)*(4 cost dt)=
=256 ∫ ^(π/2)_(0) (sintcost)^2dt=
=64∫ ^(π/2)_(0) (sin2t)^2dt=
=32∫ ^(π/2)_(0) (1-cos4t)dt=
=32*(t-(1/4)sin4t)| ^(π/2)_(0)=32*(π/2)= [b]16π[/b]
4)
S= ∫ ^(6)_(0) x*√(36-x^2)dx
Считаем интеграл заменой переменной
Применяем тригонометрические подстановки
x=6sint
36-x^2=36-36sin^2t=36*(1-sin^2t)=36*cos^2t
√(36-x^2)=6cost
dx=6cost dt
Меняем пределы интегрирования:
x=6
6=6sint
sint=1
х=6 ⇒ t=π/2
x=0 ⇒ t=0
S= ∫ ^(π/2)_(0) (6sint)*(6cost)*(6 cost dt)=
=216 ∫ ^(π/2)_(0) (cost)^2*sindt=
=216∫ ^(π/2)_(0) (cos^2t)(-d(cost))=
= - 216*(cos^3t)/3)| ^(π/2)_(0)=72(cos0/3)= [b]24[/b]