Задача 33305 ...
Условие
12. ∫ (3x–4)dx / (x³+8)
11. ∫ (x⁵–2x+3)dx / (x³+2x²)
Решение
Правильная дробь
Раскладываем знаменатель на множители
x4–16=(x2–4)(x2+4)=(x–2)(x+2)(x2+4)
Тогда правильная дробь раскладывается на простейшие:
x2/(x4–16) = ( A/(x+2)) + (B/(x–2)) + (Mx+N)/(x2+4)
Приводим правую часть к общему знаменателю.
Две дроби с равными знаменателями равны, значит равны и их числители:
x2=A·(x–2)·(x2+4) + B·(x+2)(x2+4) + (Mx+N)·(x+2)·(x–2)
можно раскрыть все скобки справа и получить многочлен третьей степени
Составить систему четырех уравнений, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа.
мне нравится метод частных значений
При x=2
22=A·0+B·(2+2)·(22+4) +0
B= 1/8
При х=–2
(–2)2=A·(–2–2)·((–2)2+4) +0+0
A= –1/8
При х=0
0=–8А +8B+(0+N)·(–4)
N=1/2
При x=1
1=A·(–1)·5 + B·(3)·(5)+(M+N)·(1–4)
M=1/4
Интеграл от суммы равен сумме интегралов:
получаем
( – 1/8) ∫ dx/(x+2) + (1/8) ∫ dx/(x–2) + ∫ ((1/4)x+(1/2))/(x2+4)dx=
=(–1/8)ln|x+2| + (1/8) ln|x–2| +(1/8) ∫ (2xdx)/(x2+4) + (1/2) ∫ dx/(x2+4)=
=(–1/8)ln|x+2| + (1/8) ln|x–2| +(1/8) ln| x2+4| + (1/2) arctg (x/2) + C
11.
Неправильная дробь. Выделяем целую часть
x5 –2x + 3 = x2·(x3+2x2)–2x4–2x+3=
=x2·(x3+2x2)–2x·(x2+2x2)+4·(x3+2x2)–8x2–2x+3
x5 –2x + 3 = (x3+2x2)·(x2–2x+4) + (–8x2–2x+3)
∫(x5–2x+3)dx/(x3+2x2) = ∫ (x2–2x+4) dx+ ∫ (–8x2–2x+3)dx/(x3+2x2)
Первый интеграл:
∫ (x2–2x+4)dx=(x3/3) – x2 +4x + C1
Второй интеграл от правильной дроби.
Знаменатель
x3+2x2=x2·(x+2)
Дробь раскладывается на три простейших
(–8x2–2x+3)/(x3+2x2) =(A/x)+(B/x2) + (D/(x+2))
–8x2–2x+3 = A·x·(x+2)+B·(x+2)+D·x2
При х=0
3=2В
В=3/2
При х=–2
–32+4+3=А·0+В·0+4D
D=–27
При х=1
–8–2+3=3А+3B+D
A=31/6
О т в е т. (x3/3) – x2 +4x +(31/6)ln|x| +(3/2)·(–1/x) –27ln|x+2|+C
12.
x3+8=(x+2)(x2–2x+4)
(3x–4)/(x3+8) = (A/(x+2)) + (Mx+N)/(x2–2x+4)
3x–4 = A·(x2–2x+4) +(Mx+N)(x+2)
3x–4= (A+M)x2+(–2A+2M+N)·x +(4A+2N)
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
слева x2 нет, значит коэффициент равен 0
0=А+М
3=(–2А+2М+N)
–4=4A+2N
...