Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 33305 ...

Условие

математика ВУЗ 522

Решение

10.
Правильная дробь
Раскладываем знаменатель на множители
x^(4)-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4)

Тогда правильная дробь раскладывается на простейшие:

x^2/(x^(4)-16) = ( A/(x+2)) + (B/(x-2)) + (Mx+N)/(x^2+4)

Приводим правую часть к общему знаменателю.
Две дроби с равными знаменателями равны, значит равны и их числители:
x^2=A*(x-2)*(x^2+4) + B*(x+2)(x^2+4) + (Mx+N)*(x+2)*(x-2)

можно раскрыть все скобки справа и получить многочлен третьей степени
Составить систему четырех уравнений, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа.

мне нравится метод частных значений
При x=2
2^2=A*0+B*(2+2)*(2^2+4) +0
B= 1/8
При х=-2
(-2)^2=A*(-2-2)*((-2)^2+4) +0+0
A= -1/8

При х=0
0=-8А +8B+(0+N)*(-4)
N=1/2

При x=1
1=A*(-1)*5 + B*(3)*(5)+(M+N)*(1-4)
M=1/4

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:
получаем
( - 1/8) ∫ dx/(x+2) + (1/8) ∫ dx/(x-2) + ∫ ((1/4)x+(1/2))/(x^2+4)dx=

=(-1/8)ln|x+2| + (1/8) ln|x-2| +(1/8) ∫ (2xdx)/(x^2+4) + (1/2) ∫ dx/(x^2+4)=

=(-1/8)ln|x+2| + (1/8) ln|x-2| +(1/8) ln| x^2+4| + (1/2) arctg (x/2) + C

11.
Неправильная дробь. Выделяем целую часть
x^5 -2x + 3 = x^2*(x^3+2x^2)-2x^4-2x+3=

=x^2*(x^3+2x^2)-2x*(x^2+2x^2)+4*(x^3+2x^2)-8x^2-2x+3

x^5 -2x + 3 = (x^3+2x^2)*(x^2-2x+4) + (-8x^2-2x+3)

∫(x^5-2x+3)dx/(x^3+2x^2) = ∫ (x^2-2x+4) dx+ ∫ (-8x^2-2x+3)dx/(x^3+2x^2)

Первый интеграл:
∫ (x^2-2x+4)dx=(x^3/3) - x^2 +4x + C_(1)

Второй интеграл от правильной дроби.
Знаменатель
x^3+2x^2=x^2*(x+2)

Дробь раскладывается на [b] три [/b] простейших
(-8x^2-2x+3)/(x^3+2x^2) =(A/x)+(B/x^2) + (D/(x+2))

-8x^2-2x+3 = A*x*(x+2)+B*(x+2)+D*x^2

При х=0
3=2В
В=3/2
При х=-2
-32+4+3=А*0+В*0+4D
D=-27
При х=1
-8-2+3=3А+3B+D
A=31/6

О т в е т. (x^3/3) - x^2 +4x +(31/6)ln|x| +(3/2)*(-1/x) -27ln|x+2|+C

12.
x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)
(3x-4)/(x^3+8) = (A/(x+2)) + (Mx+N)/(x^2-2x+4)

3x-4 = A*(x^2-2x+4) +(Mx+N)(x+2)
3x-4= (A+M)x^2+(-2A+2M+N)*x +(4A+2N)

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
слева x^2 нет, значит коэффициент равен 0
0=А+М
3=(-2А+2М+N)
-4=4A+2N
...



Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК