Задача 37139 sqrt(4cos(2x)-2sin(2x)) = 2cos(x)...

radostmalchikov

16 мая 2019 г. в 20:06

√4cos(2x)–2sin(2x) = 2cos(x)

sova

16 мая 2019 г. в 20:17

★

ОДЗ: cosx ≥ 0

Возводим в квадрат

4 cos2x–2sin2x=4cos²x

2сos²x=1+cos2x

тогда уравнение принимает вид:

4 cos2x–2sin2x=2·(1+cos2x)

2cos2x–2sin2x=2


cos2x–sin2x=1

cos2x=sin((π/2)–2x)

sin((π/2)–2x)– sin2x=1

Формула sin α – sin β=

2sin((π/4)–2x)·cos(π/4)=1

sin((π/4)–2x)=1/√2

sin(2x–(π/4))=–1/√2

2x–(π/4)=(–1)^k·(–π/4) +πk, k ∈ Z

2x=(π/4)+(–1)^k·(–π/4) +πk, k ∈ Z

x= (π/8)+(–1)^k·(–π/8) +(π/2)·k, k ∈ Z– о т в е т.


Но лучше решение уравнения sin(2x–(π/4))=–1/√2
записать в виде серии двух ответов:

2x–(π/4)= (–π/4) +2πn, n ∈ Z или 2х–(π/4)= (–3π/4) +2πm, m ∈ Z

2x=2πn, n ∈ Z или 2х–(π/4)=(–3π/4) +2πm, m ∈ Z

x=πn, n ∈ Z или 2x=(–π/2)+2πm, m ∈ Z ⇒ x=(–π/4)+πm, m ∈ Z

С учетом ОДЗ: cosx≥ 0

О т в е т. 2·πn, n ∈ Z ; (–π/4)+2πm, m ∈ Z