Задача 49499 Вычислить длину дуги кривой задана...

bean

2020-05-06 23:34:44

Вычислить длину дуги кривой задана параметрически между точками: (0,0) и (1/4, 23/24)

sova

2020-05-06 23:55:13

★

{x=t^2/4 ⇒ t=2sqrt(x)
{y=t-(t^3/24) ⇒ y=2sqrt(x)-[m]\frac{1}{3}[/m]sqrt(x^3)


Формула:
L= ∫ ^(b)_(a)sqrt(1+(y`)^2)dx

y`=(2sqrt(x)-[m]\frac{1}{3}[/m]sqrt(x^3))`

y`=[m]\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{2}[/m]

(y`(x))^2=[m]\frac{1}{x}-1+\frac{x}{4}[/m]


1+(y`(x))^2=[m]\frac{1}{x}+\frac{x}{4}[/m]


L= ∫ ^(1/4)_(0)sqrt([m]\frac{1}{x}+\frac{x}{4}[/m])dx=

= ∫ ^(1/4)_(0)[m]\frac{\sqrt{4+x^2}}{2\sqrt{x}}[/m]dx

cм. интегрирование иррациональных функций.
Можно тригонометрические подстановки

[b]x=2tgz[/b]

Можно подстановки Чебышева.