Задача 48650 ...

alinkamalinka

2020-04-28 08:17:05

Дано пирамиду, в основании которой лежит правильный треугольник. Боковые ребра равны и равны а и образуют угол α с плоскостью основания. Основа высоты точки О является центром треугольника основания. Найдите объем пирамиды.

sova

2020-04-28 08:34:59

★

Из прямоугольного Δ SOA:
H=SO=[blue]a*sin α [/blue]
AO=a*cos α

AO- радиус описанной окружности,
так как радиус описанной окружности это (2/3) высоты треугольника АВС, то известна формула:
R_(окр)=AB*sqrt(3)/3 ⇒ AB=R*sqrt(3) - cторона основания.

[b]AB=sqrt(3)*a*cos α [/b]
AB=AC=BC

S_( ΔАВС)=(1/2) AB*AC*sin60 ° =(1/2)*a^2*3cos^2 α * sqrt(3)/2=

=(3a^2sqrt(3)/4)*cos^2 α

V=(1/3)S_( Δ ABC)*H=(1/3)* (3a^2*sqrt(3)/4)*cos^2 α * [blue]a*sin α [/blue]=

=(a^2sqrt(3)/4)*cos^2 α * sin α - о т в е т