Задача 42253 ...

sova

2019-12-04 13:15:57

Найдем координаты двух точек, принадлежащих линии пересечения плоскостей
Решаем систему
{3x-y+2z+9=0
{x+5y+z=0

Система имеет бесчисленное множество решений.

Найдем координаты двух таких точек А и В
Пусть третья координата точки А
z=0
{3x-y+9=0
{x+5y=0 - умножаем на (-3)

{3x-y+9=0
{-3x-15y=0

Складываем

-16y+9=0

y=9/16

x=-45/16

А(-45/16;9/16;0)

Пусть вторая координата точки В
y=0
{3x+2z+9=0
{x+z=0 - умножаем на (-2)

{3x+2z+9=0
{-2x-2z=0

Складываем

x+9=0
x=-9

z=-x=9

В(-9;0;9)

Пусть точка M(x;y;z) - произвольная точка плоскости.

Тогда векторы
vector{AM}; vector{AB} и vector{j} компланарны.
Условие компланарности трех векторов- равенство 0 определителя третьего порядка, составленного из координат векторов.
vector{AM}=(х+(45/16);y-(9/16);z)
vector{AB}=(-9+(45/16);-9/16;9)=(99/16;-9/16;9)
vector{j}=(0;1;0)

[m]\begin{vmatrix} x+\frac{45}{16} & y-\frac{9}{16} &z \\ \frac{99}{16} &- \frac{9}{16} &9 \\ 0 & 1 &0 \end{vmatrix}=0[/m]

Раскрываем определитель по третьей строке:
[m]\begin{vmatrix} x+\frac{45}{16} & z\\ \frac{99}{16} &9 \end{vmatrix}=0[/m]

[b]144x-99z+405=0[/b] - о т в е т