Задача 39169 Вычислить определённые интегралы. Для...
Условие
интегралов решить вопрос об их сходимости или расходимости
Решение
Если u=lnx, то du=[m]\frac{dx}{x}[/m]
По формуле:
[m]\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=arcsinu+C[/m]
[m]\int_{e}^{1}\frac{\frac{dx}{x}}{\sqrt{1-(lnx)^2)}}=arcsin(lnx)|^{e}_{1}[/m]=
=[m]arcsin(lne)-arcsin(ln1))=arcsin1-arcsin0=\frac{\pi }{2}[/m]
2.
[m]\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+2x+2}=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{(x+1)^2+1}=arctg(x+1)|^{+\infty }_{-\infty}=\frac{\pi }{2}-(\frac{-\pi }{2})= \pi[/m]
3.
По частям:
u=x
du=dx
dv=sinxdx
v=- cosx
[m]\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}xsinxdx=x(-cosx)|_{0}^{\frac{\pi }{4}}-\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}(-cosx)dx[/m]=
=[m]-\frac{\pi }{4}cos(\frac{\pi }{4})-0\cdot cos0+(sinx)|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=[/m]
[m]=sin\frac{\pi}{4}-\frac{\pi }{4}cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1-\frac{\pi }{4})[/m]
4. Замена переменной:
х=2sint
x=2costdt
x=0 ⇒ t=0
x=2 ⇒ t=[m]\frac{\pi }{2}[/m]
=[m]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{(4-4sin^2t)^3}2costdt=16\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^4tdt=16\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{1+cos2t}{2})^2tdt=[/m]
Возводим в квадрат.
первые два интеграла табличные, третий по той же формуле
cos^2(2x)=(1+cos4x)/2