Задача 30985 (1+x^2)y''+2xy'=12x^3 помогите 100...

vk310051092

2018-11-13 04:13:50

(1+x^2)y''+2xy'=12x^3 помогите 100 баллов

sova

2018-11-13 13:12:20

Замена. Понижение степени дифференциального уравнения
y`=p
(1+x^2)p`+2xp=12x^3 - линейного уравнение первого порядка
Делим на (1+х^2)

p`+(2x/(1+x^2))*p=12x^3/(1+x^2)

Будем искать решение в виде
p(x)=u(x)*v(x)

p`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`+(2x/(1+x^2))*uv=12x^3/(1+x^2)

u`*v+u[b](v`+(2x/(1+x^2))*v)[/b]=12x^3/(1+x^2)

Поскольку u и v - произвольные, полагаем, что выражение в скобках ( выделено жирным шрифтом) равно 0

Получаем два уравнения с разделяющимися переменными

1) v`+(2x/(1+x^2))*v=0 ⇒ dv/v=-2xdx(1+x^2)
Интегрируем
ln|v|=-ln|1+x^2| ⇒ v=1/(1+x^2)

2) u`*v+u[b]0[/b]=12x^3/(1+x^2)
v=1/(1+x^2) найдено в п.1)

u`*(1/(1+x^2))=12x^3/(1+x^2)

u`=12x^3dx

u=(12x^4/4)+C_(1)=3x^4+C_(1)

p=(3x^4+C_(1))/(1+x^2)

Обратный переход в замене.

y`=(3x^4+C_(1))/(1+x^2)

y= ∫ (3x^4+C_(1))/dx(1+x^2)=

=3* ∫ (x^4-1)dx /(1+x^2) - 3* ∫ 1*dx /(1+x^2) + ∫ C_(1)/dx(1+x^2)=

=3* ∫ (x^2-1)dx- 3*arctgx + C_(1) arctgx + C_(2)=

=x^3 -3x - 3*arctgx + C_(1) arctgx + C_(2)