2. sin((π/8)+x)^(2)=sinx+sin((π/8)-x)^(2)
3. 6tgx^(2)-2cosx^(2)=cos2x
4. cos(x/2)^(2)+cos(3x/2)^(2)=sin(2x)^(2)+sin(4x)^(2)
1.
[b]Замена переменной:
sin3x+cos3x=t[/b]
Возводим обе части равенства замены в квадрат:
1+sin6x=t^2 ⇒ sin6x=t^2-1
t-1=0,5t^2-0,5
t^2-2t+1=0
(t-1)=0
t=1
Обратный переход
sin3x+cos3x=1
sin3x+cos3x-1=0
2sin(3x/2)*cos(3x/2) + 2cos^2(3x/2)=0
2cos(3x/2)*(sin(3x/2)+cos(3x/2))=0
cos(3x/2)=0 или sin(3x/2)+cos(3x/2)=0
cos(3x/2)=0 ⇒(3x/2)=(π/2)+πk, k ∈ Z⇒ [b]x=(π/3)+(2π/3)*k, k ∈ Z[/b]
sin(3x/2)+cos(3x/2)=0 ⇒ tg(3x/2)=-1 ⇒ (3x/2)=(-π/4)+πn, n ∈ Z
[b]x=(-π/6)+(2π/3)*n, n ∈ Z[/b]
2.
sin^2((π/8)+x)-sin^2((π/8)–x))=sinx
[b]([/b]sin((π/8)+x)-sin((π/8)–x) [b])[/b] * [b]([/b]sin((π/8)+x)+sin((π/8)–x) [b]) [/b] = sinx
[b]([/b]2sinx*cos(π/8) [b])[/b] * [b]([/b]2sin(π/8)*cosx [b])[/b]=sinx
2sin( π/8)*cos(π/8)=sin(π/4)=sqrt(2)/2
sqrt(2)sinx*cosx=sinx
sqrt(2)sinx*cosx-sinx=0
sinx*(sqrt(2)cosx-1)=0
sinx=0 ⇒ [b] x=πk, k ∈ Z[/b]
или
sqrt(2)cosx-1=0 ⇒ cosx=1/sqrt(2) ⇒ [b] x= ± (π/4)+2πn, n ∈ Z[/b]
3.
tg^2x+1=1/cos^2x
tg^2x=(1/cos^2x)-1
cos2x=2cos^2x-1
Уравнение принимает вид:
6*((1/cos^2x)-1) -2cos^2x=2cos^2x-1
Замена переменной
cos^2x=t
4t^2+5t-6=0
D=25+96=121
t_(1)=(-5-11)/8=-2; t_(2)=(-5+11)/8=3/4
cos^2x=-2 - уравнение не имеет решений, cos^2 x ≥ 0
cos^2x=3/4
cosx= - sqrt(3)/2 ⇒ х= ± (5π/6)+ [b]2[/b]πn, n ∈ Z
cosx= sqrt(3)/2 ⇒ х= ± (π/6)+ [b]2[/b]πn, n ∈ Z
Можно объединить в один ответ:
х= ± (π/6)+ [b]π[/b]k, k ∈ Z
4.
Формулы понижения степени:
cos^2α =(1+ cos2α )/2
sin^2α =(1- cos2α )/2
Уравнение принимает вид:
cosx+cos3x=-cos4x-cos8x
формула
cos α +cos β
2cos(2x)*cos(x)+2cos6x*cos2x=0
2cos(2x)*2cos(7x/2)*cos(5x/2)=0
cos(2x)=0 ⇒ 2x=(π/2)+πk, k ∈ Z ⇒ x= [b](π/4)+(π/2)*k, k ∈ Z[/b]
cos(7x/2)=0 ⇒ 7x/2=(π/2)+πm, m ∈ Z ⇒ x= [b](π/7)+(2π/7)*m, m ∈ Z[/b]
cos(5x/2)=0 ⇒ 5x/2=(π/2)+πn, n ∈ Z ⇒ x= [b](π/5)+(2π/5)*n, n ∈ Z[/b]