Задача 156 Сколько членов содержится в возрастающей...

slava191

1 марта 2014 г. в 00:00

Сколько членов содержится в возрастающей арифметической прогрессии, у которой сумма членов с четными номерами составляет 90% суммы членов с нечетными номерами?

sova

12 марта 2020 г. в 14:05

Так как сумма членов с четными номерами меньше суммы членов с нечётными номерами, то прогрессия содержит нечётное число членов.

Пусть в прогрессии (2m+ 1) членов.

Тогда (m+1) членов с нечётными номерами и m членов с чётными номерами

Члены прогрессии с нечётными номерами образуют новую прогрессию:
a₁; a₃; a₅,..., a_{2m+ 1}

S_нечёт= [m]\frac{a_{1}+ a_{2m+ 1}}{2}\cdot (m+1)[/m]

Члены прогрессии с чётными номерами образуют новую прогрессию:
a₂; a₃; a₅,..., a_2m

S_чёт= [m]\frac{a_{2}+ a_{2m}}{2}\cdot m[/m]

Так как [m] a_{2}=a_{1}+ d[/m] и [m]a_{2m}=a_{2m+ 1}-d[/m],
то
S_чёт= [m]\frac{a_{1}+ d+ a_{2m+ 1}-d}{2}\cdot m[/m]

S_чёт= [m]\frac{a_{1}+ a_{2m+ 1}}{2}\cdot m[/m]

По условию S_чёт=0,9·S_нечёт

Уравнение:
[m]\frac{a_{1}+ a_{2m +1}}{2}\cdot m[/m]=0,9· [m]\frac{a_{1}+ a_{2m+ 1}}{2}\cdot (m+1)[/m]

m=0,9·(m+ 1)
0,1m=0,9
m=9

n=2m 1=2·9+ 1=18

О т в е т. 18