Задача 156 Сколько членов содержится в возрастающей...

slava191

03.01.2014

Сколько членов содержится в возрастающей арифметической прогрессии, у которой сумма членов с четными номерами составляет 90% суммы членов с нечетными номерами?

sova

2020-03-12 14:05:31

Так как сумма членов с четными номерами меньше суммы членов с нечётными номерами, то прогрессия содержит нечётное число членов.

Пусть в прогрессии (2m+ 1) членов.

Тогда (m+1) членов с[i] нечётными [/i]номерами и m членов с[i] чётными [/i]номерами

Члены прогрессии с нечётными номерами образуют новую прогрессию:
a_(1); a_(3); a_(5),..., a_(2m+ 1)

S_(нечёт)= [m]\frac{a_{1}+ a_{2m+ 1}}{2}\cdot (m+1)[/m]

Члены прогрессии с чётными номерами образуют новую прогрессию:
a_(2); a_(3); a_(5),..., a_(2m)

S_(чёт)= [m]\frac{a_{2}+ a_{2m}}{2}\cdot m[/m]

Так как [m] a_{2}=a_{1}+ d[/m] и [m]a_{2m}=a_{2m+ 1}-d[/m],
то
S_(чёт)= [m]\frac{a_{1}+ d+ a_{2m+ 1}-d}{2}\cdot m[/m]

S_(чёт)= [m]\frac{a_{1}+ a_{2m+ 1}}{2}\cdot m[/m]

По условию S_(чёт)=0,9*S_(нечёт)

Уравнение:
[m]\frac{a_{1}+ a_{2m +1}}{2}\cdot m[/m]=0,9* [m]\frac{a_{1}+ a_{2m+ 1}}{2}\cdot (m+1)[/m]

m=0,9*(m+ 1)
0,1m=0,9
m=9

n=2m 1=2*9+ 1=18

О т в е т. 18