Задача 43579 Найти общее решение дифференциальных...

vk190911177

2020-01-22 08:34:35

Найти общее решение дифференциальных уравнений
ydx+(2sqrt(xy)-x)dy=0
Помогите решить пожалуйста

sova

2020-01-22 17:10:57

★

dy/dx=y`

y`=-y/(2sqrt(xy)-x)

Делим и числитель и знаменатель дроби справа на х:

y`=(y/x)/(2sqrt(x/y)-1)

Справа функция, зависящая от (y/x)

Значит, это однородное уравнение первой степени

Решается заменой

y/x=u

y=x*u

y`=x`*u+x*u`

x`=1

y`=u+x*u`

u+xu`=-(xu)/(2sqrt(x*ux)-x)

Это уравнение с разделяющимися переменными

не нравится.

Громоздко.

Поскольку переменные х и у равноправны, то можно сделать и так:


dx/dy=x`

y*x`=-2sqrt(xy)+x

x`=-2sqrt(x/y)+(x/y)

[b]Замена лучше так:[/b]

x/y=u

x=u*y

x`=u`*y+u*y` ( y`=1)

x`=u`*y+u

тогда

u`*y+u=-2sqrt(u)+(u)




u`*y=-2sqrt(u) - уравнение с разделяющимися переменными

y*du=-2sqrt(u)dy

du/2sqrt(u)=-dy/y

Интегрируем:

∫ du/2sqrt(u)=- ∫ dy/y

sqrt(u)=-lny+c

или вместо c лучше написать lnC

sqrt(u)=-lny+lnC


sqrt(u)=ln(C/y)

C/y=e^(sqrt(u)

u=x/y


С/у=e^(sqrt(x/y)) - [b]общее решение
[/b]