Задача 35557 Задание 4. Найти частное решение...

vk457319503

9 апреля 2019 г. в 09:53

Задание 4. Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

y'' – 4y' + 3y = 0, y(0) = 3, y'(0) = 9.

sova

9 апреля 2019 г. в 13:57

Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k²–4k+3=0

D=16–12=4

k₁=(4–2)/2=1; k₂=(4+2)/2=3– корни действительные различные

Общее решение однородного имеет вид:
y_одн.=С₁·e^k₁x+C₂·e^k₂x

y=С₁·e^x+C₂·e^3x – общее решение

y`=(С<sub>1</sub>·e<sup>x</sup>+C<sub>2</sub>·e<sup>3x</sup>)`=С₁·e^x+3·C₂·e^3x

y(0)=3

3=С₁·e⁰+C₂·e^3·0

y`(0)=9

9=С₁·e⁰+3·C₂·e^3·0


Из системы уравнений:

{3=С₁·e⁰+C₂·e^3·0
{9=С₁·e⁰+3·C₂·e^3·0


{3=С₁+С₂
{9–C₁+3C₂

Вычитаем из второго уравнения первое:
2С₂=6
С₂=3
С₁=0

y=3e^3x – частное решение