Задача 35557 Задание 4. Найти частное решение...

vk457319503

2019-04-09 09:53:59

Задание 4. Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

y'' - 4y' + 3y = 0, y(0) = 3, y'(0) = 9.

sova

2019-04-09 13:57:58

Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-4k+3=0

D=16-12=4

k_(1)=(4-2)/2=1; k_(2)=(4+2)/2=3- корни действительные различные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*e^(k_(1)x)+C_(2)*e^(k_(2)x)

[b]y=С_(1)*e^(x)+C_(2)*e^(3x)[/b] - общее решение

y`=(С_(1)*e^(x)+C_(2)*e^(3x))`=С_(1)*e^(x)+3*C_(2)*e^(3x)

y(0)=3

3=С_(1)*e^(0)+C_(2)*e^(3*0)

y`(0)=9

9=С_(1)*e^(0)+3*C_(2)*e^(3*0)


Из системы уравнений:

{3=С_(1)*e^(0)+C_(2)*e^(3*0)
{9=С_(1)*e^(0)+3*C_(2)*e^(3*0)


{3=С_(1)+С_(2)
{9-C_(1)+3C_(2)

Вычитаем из второго уравнения первое:
2С_(2)=6
С_(2)=3
С_(1)=0

[b]y=3e^(3x)[/b] - частное решение