Задача 27394 Однородное уравнение xy'=4*...
Условие
xy'=4* корень(2xx+yy) +y;
Нужно найти общий интеграл.
математика
697
Решение
★
y`=4*sqrt(2+(y/x)^2)+(y/x)
Замена
y/x=u
y=xu
y`=u+x*u` ( x`=1, так как х - независимая переменная)
u+x*u`=4*sqrt(2+u^2)+u
x*u`=4*sqrt(2+u^2) - уравнение с разделяющимися переменными
u`=du/dx
xdu=4*sqrt(2+u^2) * dx
du/sqrt(2+u^2)=4dx/x
Интегрируем
∫ du/sqrt(2+u^2)=4 ∫ dx/x
ln|u+sqrt(2+u^2)|+ ln с=4lnx
с*(u+sqrt(2+u^2))=x^4
Обратная замена
с*((y/x)+sqrt(2+(y/x)^2)=x^4
с*(y+sqrt(2x^2+y^2)=x^5 - общий интеграл или общее решение дифференциального уравнения.
О т в е т. с*(y+sqrt(2x^2+y^2))=x^5 можно записать и так
y+sqrt(2x^2+y^2)=Сx^5 ( С=1/с)