Задача 34856 Вычислить пределы функций, не пользуясь...

olga1007

24 марта 2019 г. в 11:21

Вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального
исчисления.

sova

24 марта 2019 г. в 13:27

★

1) Неопределенность (∞/∞)
Делим и числитель и знаменатель на x⁴:

lim_x→∞(3–(2/x²)–(7/x⁴))/(9+(3/x³)+(5/x⁴))=(3+0+0)/(9+0+0)=1/3

При x→∞
2/x²
7/x⁴
3/x³
5/x⁴

бесконечно малые функции, их предел равен 0


2)Неопределенность (0/0)
Раскладываем числитель и знаменатель на множители и сокращаем на (х+4)

lim_x→(–4)(х+4)·(2x–1)/(x+4)·(2x+5)=

=lim_x→(–4)(2x–1)/(2x+5)=(–8–1)/(–8+5)=3

3)Неопределенность (0/0)

Умножаем и числитель и знаменатель на
(2+√5–x)·(3+√8+x)

Применяем формулу
(√a–√b)·(√a+√b)=a–b

lim_x→1 (4–(5–х))·(3+√8+x)/(9–(8+x))·(2+√5–x)=

= lim_x→1 (х–1)·(3+√8+x)/(1–x)·(2+√5–x)=

сокращаем на (х–1)

= – lim_x→1 (3+√8+x)/(2+√5–x)=–(3+3)/(2+2)=–3/2

4)
f(x)=(4x–3)·(ln(x+2)–ln(x–1))

Разность логарифмов заменим логарифмом частного

f(x)= (4x–3)·ln ((x+2)/(x–1))

Применяем свойства логарифма степени

f(x)=ln((x+2)/(x–1))^4x–3

f(x)=ln((x+2)/(x–1))^4x· ((x+2)/(x–1))^–3

Логарифм произведения равен сумме логарифмом

ln((x+2)/(x–1))^4x+ ln ((x+2)/(x–1))^–3

lim_x→∞ ( ln((x+2)/(x–1))^4x + ln ((x+2)/(x–1))^–3 )

предел суммы равен сумме пределов

Считаем предел первого слагаемого

lim_x→∞ ln((x+2)/(x–1))^4x= ln lim_x→∞ ((x+2)/(x–1))^4x

знак предела и знак непрерывной функции можно менять местами

имеем неопределенность 1 ^∞

Применяем второй замечательный предел.

Делим и числитель и знаменатель дроби на x


ln lim_x→∞ ((1+(2/x))/(1–(1/x)))^4x=

=ln lim_x→∞ (1+(2/x))^4x/(1–(1/x))^4x=

=ln (e²)/e^–4=lne⁶=6
Считаем предел второго слагаемого

lim_x→∞ ln((x+2)/(x–1))^–3= ln lim_x→∞ ((x+2)/(x–1))^–3

знак предела и знак непрерывной функции можно менять местами

= ln (1^–3)=ln1=0

О т в е т. 6+0=6