Задача 13447 ...

slava191

04.02.2017

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды SABC равна 72, а площадь полной поверхности пирамиды SMNQ, отсекаемой от первой плоскостью, параллельной основанию и проходящей через середину высоты, равна 24. Найти площадь треугольника АВС.

Ответ: 24

SOVA

04.02.2017

★

Δ АВС подобен Δ MNQ
АВ:ВС:АС=H:(H/2)=2:1

S(полн. пирамиды SABC)=S(Δ АВС)+S(бок пирамиды SABC)
S(полн. пирамиды SMNQ)=S(Δ MNQ)+S(бок. пирамиды SMNQ )

Плошади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон
S(Δ АВС):S(Δ MNQ)=(2)^2:1^2=4⇒S(Δ АВС)=4*S(Δ MNQ)
S(бок пирамиды SABC):S(бок. пирамиды SMNQ )=4⇒

S(бок. пирамиды SMNQ )=S(бок пирамиды SABC):4=72:4=18

S(полн. пирамиды SMNQ)=S(Δ MNQ)+S(бок. пирамиды SMNQ )
24=S(Δ MNQ)+18⇒ S(Δ MNQ)=6

S(Δ АВС)=4*S(Δ MNQ)=4*6=24
О т в е т. 24.