Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 16825 Решить неравенство...

Условие

Решить неравенство (log(x)(x-1)+4log(x-1)x-4) / (log(x)(x-1)-log(x-1)x) меньше или равно 0

математика 10-11 класс 3143

Решение

ОДЗ:
{x-1 > 0
{x > 0
{x-1 ≠ 1
{x ≠ 1
x ∈ (1;2)U(2:+ бесконечность )

Замена переменной:
log_(x)(x-1)=t,
тогда
log_(x-1)x=1/t,
t≠ 0.

Неравенство принимает вид
(t+(4/t)-4)/(t-(1/t)) меньше или равно 0

Упрощаем
((t^2-4t+4)*t)/(t*(t^2-1)) меньше или равно 0

Применяем метод интервалов:
Нули числителя:
t=0; t=2
Нули знаменателя
t=-1;t=0; t=1

Расставляем знаки:
При t=10 знак +
Знаки чередуем справа налево, учитывая, что при переходе через точку 2 и точку 0 знаки не меняются.

_+__ (-1) _-__ (0) _-__ (1) _+__ [2] __+__

-1 < t < 0 или 0 < t < 1 или t=2

Обратная замена:

-1 < log_(x)(x-1) < 0 или 0 < log_(x)(x-1) < 1 или log_(x)(x-1) =2

1)-1 < log_(x)(x-1) < 0
равносильно системе неравенств
{ log_(x)(x-1) < 0
{ log_(x)(x-1) > -1

{ log_(x)(x-1) < log_(x)1
{ log_(x)(x-1) > log_(x)(1/x)

Применяем метод рационализации
{(x-1)(x-1-1) < 0
{(x-1)(x-1-(1/x)) > 0

{(x-1)(x-2) < 0 ⇒ x∈(1;2)
{(x-1)((x^2-x-1)/x) > 0 ⇒ x∈(- бесконечность: 1-sqrt(5)/2)U(0;1)U(1+sqrt(5)/2;+ бесконечность )
Множества решений первого и второго неравенств не пересекаются.
Система не имеет решений
2) 0 < log_(x)(x-1) < 1

равносильно системе неравенств
{ log_(x)(x-1) < 1
{ log_(x)(x-1) > 0

{ log_(x)(x-1) < log_(x)х
{ log_(x)(x-1) > log_(x)1

Применяем метод рационализации
{(x-1)(x-1-х) < 0
{(x-1)(x-1-1) > 0

{(x-1)*(-1) < 0 ⇒ x∈(1;+ бесконечность )
{(x-1)(x-2) > 0 ⇒ x∈(- бесконечность; 1)U(2;+ бесконечность )
С учетом ОДЗ получаем
О т в е т. 2) (2;+ бесконечность )
3)
log_(x)(x-1) =2
x-1=x^2
x^2-x+1=0
D=1-4 < 0
уравнение не имеет корней

Решение данного неравенства - объединение ответов 1)-3)

О т в е т. (2;+ бесконечность )

Вопросы к решению (1)

Все решения

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК