Задача 26980 4.45) tg(Pitgx)=ctg(Pictgx)...
Условие
Решение
{cos(π*tgx) ≠0 ⇒ πtgx ≠ (π/2)+ πs, s∈Z
{sin(π*ctgx)) ≠0 ⇒ π сtgx ≠ + πm, m∈Z
По формулам приведения
сtg (πctgx)=tg((π/2)-πctgx)
tg(πtgx) = tg((π/2)-πctgx);
tg(πtgx) - tg((π/2)-πctgx) = 0;
sin(πtgx- (π/2)+πctgx)/(cos(πtgx) * sin(π*ctgx)) = 0
В условиях ОДЗ приравниваем к нулю числитель:
sin(π*tgx- (π/2)+π*ctgx)=0
πtgx- (π/2)+πctgx=πk, k∈Z
tgx+ctgx=(1/2+k)
ctgx=1/tgx
tg^2x-(1/2+k)tgx+1=0
2tg^2x-(1+2k)*tgx+2=0
D=(1+2k)^2-4*2*2=4k^2+4k-15
D > 0
4k^2+4k-15 > 0
D_(1)=16-4*4*(-15)=16*(1+15)=16^2
корни (-4 ± 16)/8
-20/8=-5/2 или 12/8=3/2
k < -5/2 или k > 3/2
⇒ k ≠ -2;-1;0;1
tgx=(1+2k ± sqrt(4k^2+4k-15))/4
x=arctg((1+2k ± sqrt(4k^2+4k-15))/4)+πn, n∈Z
k ≠ -2;-1;0;1
При k=2
tgx+ctgx=5/2
2tg^2x-5tgx+2=0
tgx=2 или tgx=1/2
x=arctg2+Pim, m ∈ Z или х=arctg(1/2)+Pim, m ∈ Z
О т в е т. x=arctg((1+2k ± sqrt(4k^2+4k-15))/4)+πn, n∈Z
k ≠ -2;-1;0;1;2
x=arctg2+Pim, m ∈ Z
х=arctg(1/2)+Pim, m ∈ Z