Задача 36257 Найти частное решение дифференциального...

fairy

2019-04-23 14:11:02

Найти частное решение дифференциального уравнения,
удовлетворяющее начальным условиям.
y'cos^2(x)+y=tg(x), y(0)=-1

sova

2019-04-24 09:41:44

Линейное уравнение первого порядка:
y`+(1/cos^2x)*y=(tgx/cos^2x)

Можно решить двумя способами
1)Метод вариации произвольной постоянной

Решают однородное, потом константу С заменяют на C(x)

или
2)метод Бернулли

Решение неоднородного уравнения находят в виде y=u*v

y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение

u`*v+u*v`+ (u*v)/cos^2x=tgx/cos^2x

u`*v+u* [b](v`+ v/cos^2x)[/b]=tgx/cos^2x

Функцию v выбираем так, чтобы
[b](v`+ v/cos^2x)[/b]=0

Тогда
u`*v==tgx/cos^2x

Решаем два уравнения с разделяющимися переменными
v`+ v/cos^2x=0 ⇒ dv/v=-dx/cos^2x ⇒ ∫ dv/v= - ∫ dx/cos^2x

ln|v|=-tgx

v=e^(-tgx)

u`*v=tgx/cos^2x

u`e^(-tgx)=tgx/cos^2x

u=e^(tgx)*tgx/cos^2x -уравнение с разделяющимися переменными


du=e^(tgx)*tgxdx/cos^2x

u= ∫ e^(tgx)*tgxdx/cos^2x =(замена переменной t=tgx; dt=dx/cos^2x)=

= ∫ e^(t)*tdt= интегрируем по частям:

=t*e^(t)-e^(t)+C=(tgx-1)*e^(tgx)+C

y=u*v=((tgx-1)*e^(tgx)+C)e^(-tgx)

[b]y=tgx-1+C*e^(-tgx)[/b]- общее решение


y(0)=-1

-1=tg0-1+C*e^(-tg0)

C=0

[b]y=tgx-1[/b]- частное решение