Задача 34824 ...

leronmarkevich

22 марта 2019 г. в 20:27

Применить определенный интеграл для нахождения длины дуг кривых
[m] y = e^x, x ∈ [0;1] [/m]

sova

22 марта 2019 г. в 21:19

★

f(x)=e^x
f`(x)=e^x


L= ∫ ¹₀√1+(e^x)² dx= ∫ ¹₀√1+e^2x dx=

замена
√1+e^2x=t
1+e^2x=t²
e^2x=t²–1

2x=ln(t²–1)
x=(1/2)·ln(t²–1)
dx=(1/2) ·(1/(t²–1))· (t²–1)`dt

dx=tdt /(t²–1)

Вычисляю неопределенный интеграл, чтоб не связываться со сменой пределов интегрирования

∫ √1+e^2x dx= ∫ t· tdt/(t²–1)= ∫ (t²–1+1)dt/(t²–1)=

= ∫ (1 + 1/(t²–1))dt

= t + (1/2) ln|(t–1)/(t+1)|+C= √1+e^2x + (1/2)· ln |(√1+e^2x–1)/(√1+e^2x+1)|+C

∫ ^b_af(x)dx=F(b)–F(a)

О т в е т. √1+e² + (1/2)· ln |(√1+e²–1)/(√1+e²+1)|–

√1+e⁰ + (1/2)· ln |(√1+e⁰–1)/(√1+e⁰+1)|