Задача 34824 помогите пожалуйста...
Условие
математика ВУЗ
689
Решение
★
f`(x)=e^(x)
L= ∫ ^(1)_(0)sqrt(1+(e^(x))^2) dx= ∫ ^(1)_(0)sqrt(1+e^(2x)) dx=
замена
sqrt(1+e^(2x))=t
1+e^(2x)=t^2
e^(2x)=t^2-1
2x=ln(t^2-1)
x=(1/2)*ln(t^2-1)
dx=(1/2) *(1/(t^2-1))* (t^2-1)`dt
dx=tdt /(t^2-1)
Вычисляю неопределенный интеграл, чтоб не связываться со сменой пределов интегрирования
∫ sqrt(1+e^(2x)) dx= ∫ t* tdt/(t^2-1)= ∫ (t^2-1+1)dt/(t^2-1)=
= ∫ (1 + 1/(t^2-1))dt
= t + (1/2) ln|(t-1)/(t+1)|+C= sqrt(1+e^(2x)) + (1/2)* ln |(sqrt(1+e^(2x))-1)/(sqrt(1+e^(2x))+1)|+C
∫ ^(b)_(a)f(x)dx=F(b)-F(a)
О т в е т. sqrt(1+e^(2)) + (1/2)* ln |(sqrt(1+e^(2))-1)/(sqrt(1+e^(2))+1)|-
sqrt(1+e^(0)) + (1/2)* ln |(sqrt(1+e^(0))-1)/(sqrt(1+e^(0))+1)|
