Задача 37715 ...

ders

2019-05-28 21:49:43

Вычислить несобственный интеграл ∫ xe^(-x)dx от 0 до ∞

sova

2019-05-28 21:59:34

∫ ^(+ ∞ )_(0)x*e^(-x)dx=

по частям

u=x ⇒ du=dx
dv=e^(-x)dx ⇒ v= ∫ e^(-x)dx= - e^(-x)


[b] ∫ ^(+ ∞ )_(0)x*e^(-x)dx=[/b] =(- xe^(-x))|^(+ ∞ )_(0)+ ∫ ^(+ ∞ )_(0)e^(-x)dx=

=- (xe^(-x))|^(+ ∞ )_(0)- (e^(-x))| ^(+ ∞ )_(0)=

= - lim_(x →+∞)(x)e^(-x) - 0*e^(0) - lim_(x → ∞)e^(-x)+ e^(0) =

первый предел - неопределенность (∞*0)

= - lim_(x →+∞)(x)/e^(x) - 0 + 0 + 1=

применяем правило Лопиталя

= - lim_(x →+∞)(x)`/(e^(x))` + 1=

=- lim_(x →+∞)(1)/e^(x) + 1=

=0 + 1 = 1