Задача 37715 ...

ders

28 мая 2019 г. в 21:49

Вычислить несобственный интеграл ∫ xe^–xdx от 0 до ∞

sova

28 мая 2019 г. в 21:59

∫ ^{+ ∞} ₀x·e^–xdx=

по частям

u=x ⇒ du=dx
dv=e^–xdx ⇒ v= ∫ e^–xdx= – e^–x


∫ ^{+ ∞} ₀x·e^–xdx= =(– xe^–x)|^{+ ∞} ₀+ ∫ ^{+ ∞} ₀e^–xdx=

=– (xe^–x)|^{+ ∞} ₀– (e^–x)| ^{+ ∞} ₀=

= – lim_{x →+∞}(x)e^–x – 0·e⁰ – lim_{x → ∞}e^–x+ e⁰ =

первый предел – неопределенность (∞·0)

= – lim_{x →+∞}(x)/e^x – 0 + 0 + 1=

применяем правило Лопиталя

= – lim_{x →+∞}(x)`/(e<sup>x</sup>)` + 1=

=– lim_{x →+∞}(1)/e^x + 1=

=0 + 1 = 1