Задача 49488 ...

cyberforum

2020-05-06 19:40:55

Вычислить ∫_(L)x^2ydl, где L - часть круга x^2+y^2=R^2, лежащей в первый четверти

sova

2020-05-06 21:57:23

★

y^2=R^2-x^2
y=sqrt(R^2-x^2)- уравнение окружности в верхней полуплоскости

в первой четверти

0 ≤ x ≤ R


dl=sqrt(1+(y`)^2)dx

y`=(1/2sqrt(R^2-x^2))*(R^2-x^2)`=-2x/(2sqrt(R^2-x^2))=-x/sqrt(R^2-x^2)


1+(y`)^2=1+(x^2)/(r^2-x^2)=R^2/(R^2-x^2)

sqrt(1+(y`)^2)=R/sqrt(R^2-x^2)



∫ _(L)x^2*ydl= ∫ ^(R)_(0)x^2*sqrt(R^2-x^2)* (R/sqrt(R^2-x^2)dx=

= R∫ ^(R)_(0)x^2dx=r*(x^3/3)|^(R)_(0)=[b]R^4/3[/b]