Задача 34984 ...

vk177899689

2019-03-26 22:02:18

Решить уравнение (2^(4x)-2^(3x+1)+2^(2x+1)-2^(x+1)+1) / ((2^x-2)^2+(2^x-3)^3-1) ≥ 0

sova

2019-03-26 22:51:31

Замена переменной:
[b]2^(x)=t[/b]
t>0
Упрощаем
числитель:

t^4-2t^3+2t^2-2t+1=(t^4+2t^2+1)-2t(t^2+1)=(t^2+1)^2-2t(t^2+1)=

=(t^2+1)*(t^2+1-2t)=(t^2+1)*(t-1)^2
Упрощаем
знаменатель:

(t-2)^2+(t-3)^3-1=

=(t-3+1)^2+((t-3)^3-1=

=(t-3)^2+2(t-3)+1+(t-3)^3-1=

=(t-3)^3+(t-3)^2+2(t-3)=

=(t-3)*((t-2)^2+(t-3)+2)

Во второй скобке
u^2+u+2 > 0
D<0

Итак,
[b]неравенство принимает вид:[/b]

[b]((t^2+1)*(t-1)^2)/(t-3)*((t-3)^2+(t-3)+2) ≥ 0 [/b]

которое равносильно неравенству

[b](t-1)^2/(t-3) ≥ 0 [/b]

метод интервалов:

(0) _-__ [1] __-__ (3) __+__

t=1 или t >3

[b]2^x=1[/b] или [b]2^x > 3[/b]

Показательная функция с основанием 2 возрастает

[b]x=0[/b] или [b]x > log_(2)3[/b]

О т в е т. [b]{0} U ( log_(2)3; + ∞ )[/b]