Задача 51953 ...
Условие
Решение
РЕШЕНИЕ:
Преобразуем подынтегральную функцию:
sinx/(1+sinx)=sinx(1-sinx)/(1+sinx(1-sinx)=sinx(1-sinx)/cos^2x=
=sinx/cos^2(x)-sin^2(x)/cos^2(x)=sinx/cos^2(x)-tg^2(x)=sinx/cos^2(x)-
-1/cos^2(x)+1. Отсюда
∫ sinxdx/(1+sinx)= ∫ sinxdx/cos^2(x)- ∫ dx/cos^2(x)+ ∫ dx=1/cosx-tgx+x+C
Все решения
[m]tg\frac{x}{2}=t[/m] ⇒ [m]dx=\frac{2}{1+t^2}dt; sinx=\frac{2t}{1+t^2}[/m]
[m] ∫ \frac{sinx}{1+sinx}dx=4 ∫ \frac{t}{(t+1)^2\cdot (1+t^2)}dt[/m]
Раскладываем дробь [i]на простейшие[/i] методом неопределенных коэффициентов:
[m]\frac{t}{(t+1)^2\cdot (1+t^2)}=\frac{A}{t+1}+\frac{B}{(t+1)^2}+\frac{Mt+N}{t^2+1}[/m]
t=A*(t+1)*(t^2+1)+B*(t^2+1)+(Mt+N)*(t+1)^2
комбинируем два способа:
Метод частных значений:
при
t=-1
-1=2B ⇒ [b]B=-1/2[/b]
равенство двух многочленов
t=At^3+At^2+At+A+Bt^2+B+Mt^3+2Mt^2+Mt+Nt^2+2Nt+N
A+M=0 ⇒ A=-M
A+B+2M+N=0 ⇒ -M-(1/2)+2M+N=0 ⇒ M+N=1/2
A+M+2N=1 ⇒ -M+M+2N=-1 ⇒ [b]N=-1/2[/b]
A+B+N=0 ⇒ A-(1/2)-(1/2)=0 ⇒[b] A=1[/b]
[b]M=-1[/b]
[m] ∫ \frac{sinx}{1+sinx}dx=4 ∫(\frac{1}{t+1}-\frac{\frac{1}{2}}{(t+1)^2}-\frac{t+\frac{1}{2}}{t^2+1})dt=[/m]
[m]=4 ∫(\frac{1}{t+1}-\frac{\frac{1}{2}}{(t+1)^2}-\frac{1}{2}\frac{2t}{t^2+1}+\frac{1}{2}\frac{dt}{t^2+1})dt=[/m]
[m]=4(ln|t+1|+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{t}-\frac{1}{2}ln|t^2+1|+\frac{1}{2}\cdot arctgt)+C[/m]
где [m]t=tg\frac{x}{2}[/m]