Задача 37126 ...

vk457319503

16 мая 2019 г. в 16:55

Исследовать ряды на сходимость.
8 вариант
∑ (–1)^n ·1/(n √3^n);

∑ 1/(9n² +1);

∑ 2^n/(n+3)² .

sova

16 мая 2019 г. в 17:37

8.
a)
Это знакочередующийся ряд.
Рассмотрим ряд из модулей
∑ 1/(n·√3ⁿ)

Знакоположительный ряд. Применяем признак Даламбера

a_n=1/(n·√3ⁿ)

a_n+1=1/((n+1)·√3ⁿ⁺¹)

lim_{n → ∞}a_n+1/a_n=

=lim_{n → ∞}(n·√3ⁿ)/((n+1)·√3ⁿ⁺¹)=

=lim_{n → ∞}(n/(n+1)) · lim_{n → ∞}√3ⁿ/√3ⁿ⁺¹=

=1· lim_{n → ∞}√3ⁿ/3ⁿ⁺¹

=1·(1/√3)<1

Ряд из модулей сходится.
Данный ряд сходится абсолютно.

8
б)
a_n=1/(9n²+1)

Рассмотрим ряд

∑1/(n^p) – обобщенный гармонический ряд

При p > 1 сходится, при p ≤ 1 расходится.

Значит
∑ 1/n² ( p=2>1) сходится.

Так как

a_n=1/(9n²+1) < 1/n²

по признаку сравнения данный ряд сходится.

8
в)
Знакоположительный ряд. Применяем признак Даламбера

a_n=2ⁿ/(n+3)²

a_n+1=2ⁿ⁺¹/((n+1)+3)²

lim_{n → ∞}a_n+1/a_n=lim_{n → ∞}2·lim_{n → ∞}(n+3)²/(n+4)²=

=2·1=2> 1

Ряд расходится.