Задача 37126 ...

vk457319503

2019-05-16 16:55:46

Исследовать ряды на сходимость.
8 вариант
∑ (-1)^n *1/(n sqrt(3^n));

∑ 1/(9n^2 +1);

∑ 2^n/(n+3)^2 .

sova

2019-05-16 17:37:35

8.
a)
Это знакочередующийся ряд.
Рассмотрим ряд из модулей
∑ 1/(n*sqrt(3^(n)))

Знакоположительный ряд. Применяем признак Даламбера

a_(n)=1/(n*sqrt(3^(n)))

a_(n+1)=1/((n+1)*sqrt(3^(n+1)))

lim_(n → ∞)a_(n+1)/a_(n)=

=lim_(n → ∞)(n*sqrt(3^(n)))/((n+1)*sqrt(3^(n+1)))=

=lim_(n → ∞)(n/(n+1)) * lim_(n → ∞)sqrt(3^(n))/sqrt(3^(n+1))=

=1* lim_(n → ∞)sqrt(3^(n)/3^(n+1))

=1*(1/sqrt(3))<1

Ряд из модулей сходится.
Данный ряд сходится абсолютно.

8
б)
a_(n)=1/(9n^2+1)

Рассмотрим ряд

∑1/(n^(p)) - обобщенный гармонический ряд

При p > 1 сходится, при p ≤ 1 расходится.

Значит
∑ 1/n^2 ( p=2>1) сходится.

Так как

a_(n)=1/(9n^2+1) < 1/n^2

по признаку сравнения данный ряд сходится.

8
в)
Знакоположительный ряд. Применяем признак Даламбера

a_(n)=2^(n)/(n+3)^2

a_(n+1)=2^(n+1)/((n+1)+3)^2

lim_(n → ∞)a_(n+1)/a_(n)=lim_(n → ∞)2*lim_(n → ∞)(n+3)^2/(n+4)^2=

=2*1=2> 1

Ряд расходится.