Задача 35603 [block]((2^x - 8)(lg x - 1))/((log(1/2)...

vk359324424

2019-04-09 20:37:01

[block]((2^x - 8)(lg x - 1))/((log(1/2) x + 1)(sqrt(12 - x))) > 0[/block]

sova

2019-04-09 21:51:37

ОДЗ:
{x>0
{12-x>0⇒ x <12
{log_(1/2)x+1 ≠ 0 ⇒ x ≠(1/2)^(-1) ⇒ x ≠ 2

x ∈ (0;2)U(2;12)

Применяем обобщенный метод интервалов.
Находим нули числителя:
[b]2^(x)-8=0[/b]
2^(x)=2^(3)
[b]x=3[/b]

причем
2^(x)-8 <0 при x < 3
2^(x)-8 >0 при x > 3

lgx-1=0
lgx=1
x=10
причем
lgx-1<0 при x <10
lgx-1 >0 при x > 10

Нули знаменателя уже были найдены
x=2 и х=12

причем
log_(1/2)x+1 >0 ⇒ x <2

sqrt(12-х)> 0 при любом х из ОДЗ

Неравенство строгое, отмечаем на ОДЗ все найденные точки незаполненным кружком
(на рис. круглыми скобками)


(0) ___ (2) ___ (3) _______ (10) ___ (12)


Расставляем знаки:

на (0;2)
2^(x)-8 <0; lgx-1<0 ; log_(1/2)x+1 >0, ставим знак плюс
на (2;3)
2^(x)-8 <0; lgx-1<0 ; log_(1/2)x+1 <0, ставим минус
на (3;10)
2^(x)-8 >0; lgx-1<0 ; log_(1/2)x+1 <0, ставим плюс
на (10;12 )
2^(x)-8 >0; lgx-1>0 ; log_(1/2)x+1 <0, ставим знак минус

(0) _+_ (2) _-_ (3) ___+___ (10) _-_ (12)

О т в е т. [b](0;2) U(3;10)[/b]