Задача 33224 При каких значениях а уравнение будет...

vk260756846

2019-02-03 14:07:02

При каких значениях а уравнение будет иметь ровно два решения?
(log8(x+a) - log8(x-a))^(2) - 12a(log8(x+a) - log8(x-a)) + 35a^(2) - 6a - 9 = 0

sova

2019-02-03 16:02:06

Квадратное уравнение относительно
log_(8)*(x+a)-log_(8)(x-a)=t

t^2-12at+35a^2-6a-9=0
D=(-12a)^2-4(35a^2-6a-9)=4a^2+24a+36=4*(a^2+6a+9)=4*(a+3)^2

D ≥0

При D=0, т.е при а = -3
уравнение
t^2-12at+35a^2-6a-9=0
имеет один корень
t_(1)=t_(2)=-18
Обратная замена

log_(8)(x-3)-log_(8)(x+3)=-18
log_(8)(x-3)/(x+3)=-18

(x-3)/(x+3)=8^(-18) - уравнение имеет один корень.
Прямая y=8^(-18) пересекает гиперболу y=(x-3)/(x+3) в одной точке

При всех остальных а уравнение
t^2-12at+35a^2-6a-9=0
имеет два корня:
t_(1)=(12a-2(a+3))/2=5a-3 или t_(2)=(12a+2(a+3))/2=7a+3

Обратная замена
log_(8)(x+a)-log_(8)(x-a)=5a-3
log_(8)(x+a)/(x-a)=(5a-3)

(x+a)/(x-a)=8^(5a-3)

или

(x+a)/(x-a)=8^(7a+3)

Надо учесть те случаи, когда найденное решение не входит в ОДЗ уравнения, тогда корней не будет два