Задача 21782 Провести исследование и построить график...
Условие
Решение
1) D(y)=(–∞;+ ∞)
Вертикальных асимптот нет
2) Функция является четной.
у(-х)=(-х)^4-6*(-x)^2+9=x^4-6x^2+9
y(-x)=y(x)
3)lim_(x→ +бесконечность))f(x)=+бесконечность
lim_(x→-бесконечность)f(x)=+бесконечность.
Горизонтальных асимптот нет
Наклонной асимптоты нет, так как
k=lim_(x→бесконечность)(x^4-6x^2+9)/x=+бесконечность
4) f(x)=0
x^4-6x^2+9=0
x^2=3
x=-sqrt(3) или x=sqrt(3)
(-sqrt(3);0) и (sqrt(3);0) - точки пересечения с осью Ох.
При х=0 у=9
(0;9) - точка пересечения с осью Оу.
5)
y`=4x^3-12x;
y`=0
4x^3-12x=0
4x*(x^2-3)=0
x=0 или x^2-3=0 ⇒х=±sqrt(3)
Знак производной
_-__ (-sqrt(3)) ___+___ (0) __–__ (sqrt(3) ) __+__
x=0 – точка максимума, производная меняет знак с + на -
x=-sqrt(3) и х=sqrt(3) - точки минимума, производная меняет знак с - на +
Функция убывает при x∈ (-бесконечность;-sqrt(3)) и хx∈ (0;sqrt(3))
возрастает при x∈ (-sqrt(3);0) и (sqrt(3);+бесконечность)
у(0)=9 -
y(-sqrt(3))=y(sqrt(3))=0
7)y``=(4x^3)-12x)`=12x^2-24
y``=0
12x^2-24=0
x= ± sqrt(2) -точки перегиба, вторая производная при переходе через точки меняет знак .
Функция выпукла вниз на (- бесконечность ;-sqrt(2)) и на (sqrt(2);+ бесконечность )
выпукла вверх на (-sqrt(2);sqrt(2))