Задача 21172 Решите уравнение...
Условие
(1/4)log^2_(5)(2x+3)^2+8log^2_(5)sqrt(x) меньше или равно log5(2x+3)^3*log5x
Решение
{x > 0
{2x+3 ≠ 0 ⇒ x≠-3/2
log_(5)(2x+3)^2=2log_(5)(2x+3)
log^2_(5)(2x+3)^2=(2log_(5)(2x+3))^2=4log_(5)(2x+3)
log_(5)√x=log_(5)(x)^(1/2)=(1/2)log_(5)x
log^2_(5)√x=(log_(5)(x)^(1/2))^2=((1/2)log_(5)x)^2=(1/4)log_(5)x
log_(5)(2x+3)^3=3*log_(5)(2x+3)
Неравенство принимает вид
log^2_(5)(2x+3)+2log^2_(5)x меньше или равно 3 log_(5)(2x+3)*log_(5)x
log_(5)(2x+3) > 0 при х > 0
Делим обе части уравнения на( log_(5)(2x+3))^2=log^2_(5)(2x+3)
Получаем
1+2*((log_(5)x)^2/(log_(5)(2x+3))^2 меньше или равно 3*(log_(5)x)/(log_(5)(2x+3))
Квадратное неравенство
2t^2-3t+1 меньше или равно 0
D=9-8=1
t=1/2 или t=1
имеет решение
[1/2; 1]
Обратная замена
(1/2) меньше или равно log_(5)x/log_(5)(2x+3) меньше или равно 1
Формула перехода к другому основанию приводит к неравенству
1/2 меньше или равно log_(2x+3)x меньше или равно 1
Свойство возрастания логарифмической функции с основание 5 > 1 к системе:
{x меньше или равно 2х+3;
{x больше или равно sqrt(2x+3)
{x больше или равно -3
{x^2-2x-3 больше или равно 0
{x больше или равно -3
{x меньше или равно -1 или х больше или равно 3
Система имеет решение [-3;-1] U[3;+ бесконечность)
С учетом ОДЗ
О т в е т. [3;+ бесконечность)
Все решения
