Задача 49100 Найти частные производные, частные...

eeveee

2020-05-02 16:11:18

Найти частные производные, частные дифференциалы данных функций по каждой из независимых переменных (x,y,z,t,...) и полной дифференциал:

sova

2020-05-02 18:54:43

[m]z=(x^2+y^2)\cdot \frac{1-\sqrt{x^2+y^2}}{1+\sqrt{x^2+y^2}}[/m]

Производная произведения:

(u*v)`=u`*v+u*v`

[m]z`_{x}=(x^2+y^2)`_{x}\cdot \frac{1-\sqrt{x^2+y^2}}{1+\sqrt{x^2+y^2}}+(x^2+y^2)\cdot (\frac{1-\sqrt{x^2+y^2}}{1+\sqrt{x^2+y^2}})`_{x}[/m]=

[m]z`_{x}=(2x)\cdot \frac{1-\sqrt{x^2+y^2}}{1+\sqrt{x^2+y^2}}+[/m]
[m]+(x^2+y^2)\cdot (\frac{(1-\sqrt{x^2+y^2})`_{x}\cdot (1+\sqrt{x^2+y^2})-(1-\sqrt{x^2+y^2})\cdot (1+\sqrt{x^2+y^2})`_{x}}{(1+\sqrt{x^2+y^2})^2}=[/m]

[m]z`_{x}=(2x)\cdot \frac{1-\sqrt{x^2+y^2}}{1+\sqrt{x^2+y^2}}+[/m]
[m]+(x^2+y^2)\cdot (\frac {(0-\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot (x^2+y^2)`_{x}(1+\sqrt{x^2+y^2})-(1-\sqrt{x^2+y^2})\cdot (0+\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot(x^2+y^2)`_{x}}{(1+\sqrt{x^2+y^2})^2}=[/m]


[m]z`_{x}=(2x)\cdot \frac{1-\sqrt{x^2+y^2}}{1+\sqrt{x^2+y^2}}+[/m]
[m]+(x^2+y^2)\cdot (\frac {(-\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot (2x)(1+\sqrt{x^2+y^2})-(1-\sqrt{x^2+y^2})\cdot (\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot(2x)}{(1+\sqrt{x^2+y^2})^2}=[/m]

В принципе это ответ, но можно и упростить.


z`_(y) аналогично

dz=z`_(x)dx+z`_(y)dy