Задача 12725 математика log_7 3/x+log_7(x^2-7x+11) <...
Условие
Решение
{(3/x) > 0 ⇒ x > 0;
{x^2-7x+11 > 0⇒(-∞;(7-sqrt(5))/2)U(7+sqrt(5))/2;+∞)
{x^2-3x+3/x+10 > 0⇒ 3/x > -x^2+3x-10
cм. рис. 1 гипербола у=3/x параболы у=-x^2+3x-10 при любом х∈(0;+ ∞) потому как согласно первого неравенства из ОДЗ х > 0.
ОДЗ: х ∈(0; (7-sqrt(5))/2)U((7+sqrt(5))/2;+ ∞)
Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения
log_(7)(3/x)*(x^2-7x+11) < log_(7)(x^2-7x+3/x+10)
Так как основание логарифмической функции 7, функция возрастает, то
(3/x)*(x^2-7x+11) < (x^2-7x+(3/x)+10)
или
3х-21+(33/х) < x^2-7x+(3/x)+10;
30/x < x^2-10x+31
Решаем это неравенство графически cм. рис.2
( гипербола у=30/х ниже параболы у=x^2-10х+31 при х∈(2;3)U(5;+ ∞))
2 < 7-sqrt(5)/2 < 3,так как 4 < 7-sqrt(5) > 6
и -3 < - sqrt(5) < -1, так как 1 < 5 < 9.
5 > (7+sqrt(5))/2, так как 10 > 7+sqrt(5), 3 > sqrt(5), 9 > 5.
О т в е т. (2; (7-sqrt(5))/2)U(5;+ ∞) 
