✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 37887

УСЛОВИЕ:

Решите неравенство

a) 3cos^2x-4cosx ≥ 4

b) sinx+cosx > sqrt(2)cos2x

РЕШЕНИЕ ОТ sova ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ

a) Замена переменной
cosx=t
3t^2-4t-4 ≥ 0
D=(-4)^2-4*3*(-4)=16+48=64
t_(1)=(4-8)/6=-4/6=-2/3; t_(2)=(4+8)/6=2

Решение неравенства
-2/3 ≤ t ≤ 2

Обратный переход от t к переменной х:

-(2/3) ≤ cosx ≤ 2

Двойное неравенство равносильно системе:
{cosx ≤ 2
{cosx ≥ (-2/3)

Первое неравенство верно при любом х, так как |cosx| ≤ 1

Решение неравенства
cosx ≥ -2/3
на единичной окружности

См. рис. 1
О т в е т. а) - arccos(-2/3)+2πn ≤ x ≤ arccos(-2/3)+2πn, n ∈Z
так как
arccos(-2/3)=π-arccos(2/3), то ответ можно записать в виде:

- (π-arccos(2/3))+2πn ≤ x ≤ π-arccos(2/3)+2πn, n ∈Z

или

[b]-π+arccos(2/3))+2πn ≤ x ≤ π-arccos(2/3)+2πn, n ∈Z[/b]

б)
Делим обе части неравенства на sqrt(2)

(1/sqrt(2))sinx + (1/sqrt(2))*cosx > cos2x
Так как
sin(π/4)=cos(π/4)=1/sqrt(2)
неравенство примет вид:

sin(π/4)*sinx+cos(π/4)*cosx > cos2x

Применяем формулу

cos( α - β )=cos α *cos β + sin α sinx β

cos(x-(π/4)) > cos2x

или

cos(x-(π/4)) - cos2x >0

или

cos2x-cos(x-(π/4)) < 0

Применяем формулу

cos α -cos β=-2sin((1/2)*(α - β))*sin((1/2)*(α + β))

-2*sin((2x-(x-(π/4))/2)*sin((2x+(x-(π/4))/2)<0

sin((x/2)+(π/8)) * sin((3x/2)-(π/8)) >0

Произведение положительно, когда множители имеют одинаковые знаки.
Получаем совокупность систем
(1)
{sin((x/2)+(π/8)) >0⇒ 2πm < (x/2)+(π/8) < π+2πm, m∈ Z
{sin((3x/2)-(π/8)) >0 ⇒ 2πn < (3x/2)-(π/8) < π+2πm, m ∈ Z

или

(2)
{sin((x/2)+(π/8)) <0 ⇒ - π+2πn < (x/2)+(π/8) < 2πn, n∈ Z
{sin((3x/2)-(π/8))<0 ⇒ -π+ 2πn < (3x/2)-(π/8) < 2πn, n ∈ Z



(1)
{-(π/8)+ 2πm < (x/2) < -(π/8)+ π+2πm, m∈ Z
{(π/8)+ 2πm < (3x/2) < π+(π/8)+2πm, m ∈ Z

или

(2)
{-(π/8) - π+2πn < (x/2) <-(π/8) +2πn, n∈ Z
{(π/8)-π+ 2πn < (3x/2) < (π/8 + 2πm, n ∈ Z


(1)
[b]{-(π/4)+ 4πm < x < -(π/4)+2π+4πm, m∈ Z
{(π/12)+ (4π/3)*m < x) < (2π/3)+(π/12)+(4π/3)*m, m ∈ Z
[/b]
или

(2)
[b]{(π/4) - 2π+4πn < x <(π/4) +4πn, n∈ Z
{(π/12)-(2π/3)+ (4π/3)n < x < (π/12) + (4π/3)m, n ∈ Z[/b]

Осталось выбрать пересечение множеств.

Cм. графиечкое решение неравенства на рис.2

y=sinx+cosx - график красного цвета
y=sqrt(2)cos2x - график синего цвета

Красный выше синего на отрезках
[a+2πm;b+2πm] m∈ Z
и
на отрезках
[с+2πn;d+2πn] n∈ Z

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?

Добавил foxy, просмотры: ☺ 188 ⌚ 2019-06-03 11:25:40. математика 10-11 класс

Решения пользователей

Лучший ответ к заданию выводится как основной
Хочешь предложить свое решение? Войди и сделай это!

Написать комментарий

Последние решения
3 × 2=6
3 × 6=18 м2
✎ к задаче 42405
3 кубических дециметра это три литра. 3 литра воды это 3 кг.
P=mg=3*10=30 Н
✎ к задаче 42379
m(0,5sinπt)^2/2>3*10^-3
✎ к задаче 42389
Ту часть косинусоиды которая выше 2, то есть
Uocos(ωt+ φ)>2
Можно просто посчитать сумму отрезков на интервале 1, которые соответствую этому условию и умножить на 100.
✎ к задаче 42390
Раскрываем скобки как в алгебре:

=3*vector{a}*2*vector{a}-vector{b}*2*vector{a}+3*vector{a}*vector{b}-vector{b}*vector{b}=

скалярное произведение двух векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Между векторами vector{a} и vector{a} угол равен 0, косинус 0 равен 1

=3*3*2*3 -2sqrt(3)2*3cos150^(o)+3*3*2sqrt(3)cos 150^(o)-2sqrt(3)*2sqrt(3)=

✎ к задаче 42392