a) 3cos^2x-4cosx ≥ 4
b) sinx+cosx > sqrt(2)cos2x
cosx=t
3t^2-4t-4 ≥ 0
D=(-4)^2-4*3*(-4)=16+48=64
t_(1)=(4-8)/6=-4/6=-2/3; t_(2)=(4+8)/6=2
Решение неравенства
-2/3 ≤ t ≤ 2
Обратный переход от t к переменной х:
-(2/3) ≤ cosx ≤ 2
Двойное неравенство равносильно системе:
{cosx ≤ 2
{cosx ≥ (-2/3)
Первое неравенство верно при любом х, так как |cosx| ≤ 1
Решение неравенства
cosx ≥ -2/3
на единичной окружности
См. рис. 1
О т в е т. а) - arccos(-2/3)+2πn ≤ x ≤ arccos(-2/3)+2πn, n ∈Z
так как
arccos(-2/3)=π-arccos(2/3), то ответ можно записать в виде:
- (π-arccos(2/3))+2πn ≤ x ≤ π-arccos(2/3)+2πn, n ∈Z
или
[b]-π+arccos(2/3))+2πn ≤ x ≤ π-arccos(2/3)+2πn, n ∈Z[/b]
б)
Делим обе части неравенства на sqrt(2)
(1/sqrt(2))sinx + (1/sqrt(2))*cosx > cos2x
Так как
sin(π/4)=cos(π/4)=1/sqrt(2)
неравенство примет вид:
sin(π/4)*sinx+cos(π/4)*cosx > cos2x
Применяем формулу
cos( α - β )=cos α *cos β + sin α sinx β
cos(x-(π/4)) > cos2x
или
cos(x-(π/4)) - cos2x >0
или
cos2x-cos(x-(π/4)) < 0
Применяем формулу
cos α -cos β=-2sin((1/2)*(α - β))*sin((1/2)*(α + β))
-2*sin((2x-(x-(π/4))/2)*sin((2x+(x-(π/4))/2)<0
sin((x/2)+(π/8)) * sin((3x/2)-(π/8)) >0
Произведение положительно, когда множители имеют одинаковые знаки.
Получаем совокупность систем
(1)
{sin((x/2)+(π/8)) >0⇒ 2πm < (x/2)+(π/8) < π+2πm, m∈ Z
{sin((3x/2)-(π/8)) >0 ⇒ 2πn < (3x/2)-(π/8) < π+2πm, m ∈ Z
или
(2)
{sin((x/2)+(π/8)) <0 ⇒ - π+2πn < (x/2)+(π/8) < 2πn, n∈ Z
{sin((3x/2)-(π/8))<0 ⇒ -π+ 2πn < (3x/2)-(π/8) < 2πn, n ∈ Z
(1)
{-(π/8)+ 2πm < (x/2) < -(π/8)+ π+2πm, m∈ Z
{(π/8)+ 2πm < (3x/2) < π+(π/8)+2πm, m ∈ Z
или
(2)
{-(π/8) - π+2πn < (x/2) <-(π/8) +2πn, n∈ Z
{(π/8)-π+ 2πn < (3x/2) < (π/8 + 2πm, n ∈ Z
(1)
[b]{-(π/4)+ 4πm < x < -(π/4)+2π+4πm, m∈ Z
{(π/12)+ (4π/3)*m < x) < (2π/3)+(π/12)+(4π/3)*m, m ∈ Z
[/b]
или
(2)
[b]{(π/4) - 2π+4πn < x <(π/4) +4πn, n∈ Z
{(π/12)-(2π/3)+ (4π/3)n < x < (π/12) + (4π/3)m, n ∈ Z[/b]
Осталось выбрать пересечение множеств.
Cм. графиечкое решение неравенства на рис.2
y=sinx+cosx - график красного цвета
y=sqrt(2)cos2x - график синего цвета
Красный выше синего на отрезках
[a+2πm;b+2πm] m∈ Z
и
на отрезках
[с+2πn;d+2πn] n∈ Z