Задача 41994 e) lim (x -> 10) (lg(x - 1) / sqrt(x -...

polarmed

27 ноября 2019 г. в 22:08

e) lim (x –> 10) (lg(x – 1) / √x – 9 – 1)

sova

27 ноября 2019 г. в 22:19

★

[m]\lim_{x \to 10 }\frac{lgx-1}{\sqrt{x-9}-1}=\frac{0}{0}=[/m]
неопределенность (0/0)

Замена переменной:

x–10=t

x=10+t

lgx–1=lg(10+t)–lg10=lg[m]\frac{10+t}{10}[/m]=lg[m](1+\frac{t}{10})[/m]

√x–9–1=√t+1–1

[m]\lim_{t \to 0}\frac{lg(1+\frac{t}{10})}{\sqrt{t+1}-1}=[/m]

Умножаем числитель и знаменатель на
√t+1+1


[m]\lim_{t \to 0 }\frac{lg(1+\frac{t}{10})(\sqrt{t+1}+1)}{(\sqrt{t+1}-1)(\sqrt{t+1}+1)}=[/m]

[m]=\lim_{t \to 0 }\frac{lg(1+\frac{t}{10})(\sqrt{t+1}+1)}{t}=[/m]

[m]=\lim_{t \to 0 }\frac{lg(1+\frac{t}{10})}{t}\cdot (\sqrt{t+1}+1)=[/m]

предел произведения равен произведению пределов:

[m]=\lim_{t \to 0 }\frac{lg(1+\frac{t}{10})}{t}\cdot\lim_{t \to 0 } (\sqrt{t+1}+1)[/m]

см. приложение ( следствия из второго замеч. предела a=10)

=[m]\frac{ln10}{10}\cdot (\sqrt{1}+1)=\frac{2ln10}{10}[/m]