Задача 22377 Известно, что для всех пар положительных...

u6217613182

14.01.2018

Известно, что для всех пар положительных чисел $$(x;\;y)$$, для которых выполняются равенство $$x+y\;=\;7$$ и неравенство $$x^2+y^2 > 27$$, выполняется и неравенство $$x^5+y^5 > m$$. Какое наибольшее значение может принимать $$m$$?

SOVA

15.01.2018

★

[b]В условии рассматриваются положительные числа![/b]

{x+y=7
{x^2+y^2 > 27
Выразим у из первого и подставим во второе
x^2+(7-x)^2 > 27
2x^2-14x+22 > 0
или
x^2-7x+11 > 0
D=49-4*11=5
x1=(7-sqrt(5))/2 или x2=(7+sqrt(5))/2
C учетом х > 0
x∈(0;(7-sqrt(5))/2) U(7+sqrt(5))/2);+ бесконечность)

Найдем, при каких значениях
х ∈(0;(7-sqrt(5))/2] U[(7+sqrt(5))/2);+ бесконечность)

( обратите внимание на квадратные скобки).

f(x;y)=x^5+y^5
Заменим у=7-х

f(x)=x^5+(7-x)^5

Находим производную
y`=5x^4+5*(7-x)^4*(7-x)`=
=5x^4+5*(7-x)^4*(-1)=
=5x^4-5*(7-x)^4=
=5x^4-5*(x-7)^4
(7-x)^2=(x-7)^2, и в любой четной степени так же)

y`=0
5x^4-5*(x-7)^4=0
Раскладываем на множители
5*(x^2-(x-7)^2)*(x^2+(x-7)^2)=0
5*(x-(x-7))*(x+(x-7))*(x^2+(x-7)^2)=0
35*(2x-7)*(x^2+(x-7)^2)=0
2x-7=0
x=3,5 - точка возможного экстремума функции
f(x)=x^5+(7-x)^5

НО
эта точка не входит в промежуток (0;(7-sqrt(5))/2]U[(7+sqrt(5))/2);+ бесконечность).

Так как производная отрицательна на (0;(7-sqrt(5))/2], значит функция убывает и наименьшее значение принимает в точке (7-sqrt(5))/2
Так как производная положительна на [(7+sqrt(5))/2);+ бесконечность), то функция возрастает и наименьшее значение принимает в точке (7+sqrt(5))/2
В силу симметрии
f((7-sqrt(5))/2)=f((7+sqrt(5))/2)
Находим значение функции в точке (7+sqrt(5))/2.

Применяем формулу биному Ньютона
(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5
(a-b)^5=a^5-5a^4b+10a^3b^2-10a^2b^3+5ab^4-b^5
Cкладываем
(a+b)^5+(a-b)^5=2a^5+2*10a^3b^2+2*5ab^4 ( #)

f((7+sqrt(5))/2)=((7+sqrt(5))/2)^5+(7-((7+sqrt(5))/2))^2=
=((7+sqrt(5))/2)^5+((7-sqrt(5))/2)^5=
применяем (#) при a=7/2; b=sqrt(5)/2

=2*(7/2)^5+20*(7/2)^3*(sqrt(5)/2)^2+10*(7/2)*(sqrt(5)/2)^4=
=2*(7^5+10*7^3*5+5*7*25)/2^5=
=7*(7^4+50*7^2+125)/16=2177
Наименьшее значение функции f(x)=x^5+y^5 на [(7+sqrt(5))/2; + бесконечность) равно 2187
При всех x ∈((7+sqrt(5))/2; + бесконечность) f(x) > 2177
Значит наибольшее m=2177
О т в е т. m=2177