Задача 31022 Найдите общее и частное решения...

alekseevadaria

2018-11-14 11:37:01

Найдите общее и частное решения дифференциального уравнения:

y' + (2/x)y = x^3, y(1) = -5/6

sova

2018-11-14 14:04:17

★

Линейное уравнение первого порядка.
Решение ищут в виде произведения двух функций
y=u*v

y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`+(1/x)*u*v=x^3
u`*v+u*(v`+(1/x)*v)=x^3

Поскольку функции u и v - произвольные, выбираем функцию v
Так, чтобы выражение в скобках обращалось в 0

{v`+(1/x)*v=0 ⇒ dv/v=-dx/x ⇒ ln|v|=-ln|x| ⇒ ln|v|=ln|x|^(-1) ⇒ v=1/х

2)u`*(1/x)=x^3
u`=x^4
u=(x^5/5)+ C

y=((x^5/5)+ C)*(1/x)

y=(x^4/5) +(C/x) - общее решение дифференциального уравнения


при х=1; у=-5/6

-5/6=(1/5) +(С/1)

C=-31/30

y=(x^4/5) +(-31/30x) - частное решение