✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 22644 Две параболы y=2x^2+ax+b и y=-5x^2+cx+d

УСЛОВИЕ:

Две параболы y=2x^2+ax+b и y=-5x^2+cx+d касаются в точке, лежащей на оси Ox. Через точку D – вторую точку пересечения первой параболы с осью Ox – проведена вертикальная прямая, пересекающая вторую параболу в точке A, а общую касательную к параболам – в точке B. Найдите отношение DA:DB. 

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ

По условию парабола у=2x^2+ax+b пересекает ось Ох дважды, т.е квадратное уравнение 2x^2+ax+b=0 имеет два корня
х_(о) и х_(D)
2x^2_(o)+ax_(o) +b=0
2х^2_(D)+ax_(D)+b=0
вычтем
2(x^2_(o)-x^2_(D))+а*(x_(o)-x_(D))=0
((x_(o)-x_(D))*(2x_(o)+2x_(D)+а)=0
x_(o)-x_(D)≠0, точки по условию различны.
Значит
2x_(o)+2x_(D)+а=0
(x_(o)+x_(D))=-a/2 (# 1)

точка касания расположена на оси Ox, значит (x_(o);0)

Составим уравнение касательной к параболе у=2x^2+ax+b.

f(x)=2x^2+ax+b
f(x_(o))=0,
f`(x)=4x+a
f`(x_(o))=4x_(o)+a

y-0=(4х_(о)+a)*(x-x_(o)) - уравнение касательной к первой параболе.


Составим уравнение касательной к параболе у=2x^2+ax+b.

f(x)=-5x^2+сx+d
f(x_(o))=0,
f`(x)=-10x+c
f`(x_(o))=-10x_(o)+c

y-0=(-10х_(о)+c)*(x-x_(o)) - уравнение касательной ко второй параболе.

Касательная общая, значит
4х_(о)+a=-10х_(о)+c ( угловые коэффициенты равны)
14x_(o) + a - c =0
x_(o)=(c-a)/14 ( # 2)

У точек А;В и D - одинаковые абсциссы.
Найдем ординаты.
Точка А лежит на второй параболе
Точка В на касательной

А(x_(D);-5x^2_(D)+cx_(D)+d)
В(х_(D);(4х_(о)+a)(x_(D)-x_(o))
D(х_(D); 0)

|AD|=|-5x^2_(D)+cx_(D)+d|
-5x^2_(o)+сx_(o) +d=0
d=5x^2_(o)-сx_(o)
|AD|=|-5x^2_(D)+cx_(D)+5x^2_(o)-сx_(o)|=
=|x_(o)-x_(D)|*|5x_(o)+5x_(D)-c|

|ВD|=|x_(o)-x_(D)|*|4x_(o)+a|

|DА|:|DВ|=|5x_(o)+5x_(D)-c|/|4x_(o)+a|
так как
(x_(o)+x_(D))=-a/2 ( # 1)
x_(o)=(c-a)/14 ( # 2)

|DА|:|DВ|=|5x_(o)+5x_(D)-c|/|4x_(o)+a|=

=|5*(-a/2)-c|/|(4*(c-a)/14)+a|=

=|(-5a-2c)/2|/|(2c+5a)/7|=7/2

О т в е т. 7/2

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?

Добавил Kadridin11, просмотры: ☺ 810 ⌚ 19.01.2018. математика 10-11 класс

Решения пользователелей

Хочешь предложить свое решение? Войди и сделай это!
Лучший ответ к заданию выводится как основной

Написать комментарий

Последнии решения
1) 45 мин * 7 = 315 мин = 315/60 ч = 5 (1/4) ч

2) 75 км * 9 = 675 км = 675 000 м
[удалить]
✎ к задаче 31082
В первый день прошли путь АС.
АС=(1/15)*АО
АС=14 км
14=(1/15)*АО ⇒ АО=210 км

СО=АО-АС=210-14=196 км

Во второй день
CD=(1/4)CO=(1/4)*196=49 км

DO=СO-СD=196 - 49=147 (км)

DM + (1/7)*DO=(1/7)*147=21 ( км)

MO = DO - DM = 147 - 21 = 126 (км)

126:3=62 км

О т в е т. в первый день - АС, это 14 км,
во второй день СD - это 49 км,
в третий день DM - это 21 км
в четвертый, пятый и шестой поровну по 62 км
[удалить]
✎ к задаче 31077
Применяется метод подведения под дифференциал.
Номер формулы ( см. таблицу в приложении), по которой вычислен интеграл над знаком равенства в кружке.
(прикреплено изображение) [удалить]
✎ к задаче 31076
(прикреплено изображение) [удалить]
✎ к задаче 31072
Если имеется каноническое уравнение параболы x^2=2py, то
вершина параболы в точке (0;0), уравнение директрисы
y=-p/2.
Ветви параболы направлены вверх по отношению к оси Оу.

Упрощаем данное уравнение:
x^2-4x=y-3
Выделяем полный квадрат.
(x^2-4x+4)-4=y-3
(x-2)^2=y+1
Новые переменные
x-2=x`
y+1=y`
Значит вершина параболы в точке (2;-1)

Получили каноническое уравнение вида (x^2=2py):

[b](x`)^2 =y`[/b]
⇒ 2p=1
p=1/2

F(0;1/2) - фокус
уравнение директрисы
y`=-1/4

или обратная замена
F(2;-1/2) - фокус данной параболы

y+1=-1/4
⇒ y=-5/4 уравнение директрисы данной параболы.
(прикреплено изображение) [удалить]
✎ к задаче 31073