ЗАДАЧА 22644 Две параболы y=2x^2+ax+b и y=-5x^2+cx+d

УСЛОВИЕ:

Две параболы y=2x^2+ax+b и y=-5x^2+cx+d касаются в точке, лежащей на оси Ox. Через точку D – вторую точку пересечения первой параболы с осью Ox – проведена вертикальная прямая, пересекающая вторую параболу в точке A, а общую касательную к параболам – в точке B. Найдите отношение DA:DB. 

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA:

По условию парабола у=2x^2+ax+b пересекает ось Ох дважды, т.е квадратное уравнение 2x^2+ax+b=0 имеет два корня
х_(о) и х_(D)
2x^2_(o)+ax_(o) +b=0
2х^2_(D)+ax_(D)+b=0
вычтем
2(x^2_(o)-x^2_(D))+а*(x_(o)-x_(D))=0
((x_(o)-x_(D))*(2x_(o)+2x_(D)+а)=0
x_(o)-x_(D)≠0, точки по условию различны.
Значит
2x_(o)+2x_(D)+а=0
(x_(o)+x_(D))=-a/2 (# 1)

точка касания расположена на оси Ox, значит (x_(o);0)

Составим уравнение касательной к параболе у=2x^2+ax+b.

f(x)=2x^2+ax+b
f(x_(o))=0,
f`(x)=4x+a
f`(x_(o))=4x_(o)+a

y-0=(4х_(о)+a)*(x-x_(o)) - уравнение касательной к первой параболе.


Составим уравнение касательной к параболе у=2x^2+ax+b.

f(x)=-5x^2+сx+d
f(x_(o))=0,
f`(x)=-10x+c
f`(x_(o))=-10x_(o)+c

y-0=(-10х_(о)+c)*(x-x_(o)) - уравнение касательной ко второй параболе.

Касательная общая, значит
4х_(о)+a=-10х_(о)+c ( угловые коэффициенты равны)
14x_(o) + a - c =0
x_(o)=(c-a)/14 ( # 2)

У точек А;В и D - одинаковые абсциссы.
Найдем ординаты.
Точка А лежит на второй параболе
Точка В на касательной

А(x_(D);-5x^2_(D)+cx_(D)+d)
В(х_(D);(4х_(о)+a)(x_(D)-x_(o))
D(х_(D); 0)

|AD|=|-5x^2_(D)+cx_(D)+d|
-5x^2_(o)+сx_(o) +d=0
d=5x^2_(o)-сx_(o)
|AD|=|-5x^2_(D)+cx_(D)+5x^2_(o)-сx_(o)|=
=|x_(o)-x_(D)|*|5x_(o)+5x_(D)-c|

|ВD|=|x_(o)-x_(D)|*|4x_(o)+a|

|DА|:|DВ|=|5x_(o)+5x_(D)-c|/|4x_(o)+a|
так как
(x_(o)+x_(D))=-a/2 ( # 1)
x_(o)=(c-a)/14 ( # 2)

|DА|:|DВ|=|5x_(o)+5x_(D)-c|/|4x_(o)+a|=

=|5*(-a/2)-c|/|(4*(c-a)/14)+a|=

=|(-5a-2c)/2|/|(2c+5a)/7|=7/2

О т в е т. 7/2

ВОПРОСЫ ПО РЕШЕНИЮ?
НАШЛИ ОШИБКУ?
отправить + регистрация в один клик
опубликовать + регистрация в один клик

Нужна помощь?

Опубликовать

Добавил Kadridin11 , просмотры: ☺ 588 ⌚ 19.01.2018. математика 10-11 класс
КОД ВСТАВКИ

РЕШЕНИЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕЙ
Написать своё решение

Только зарегистрированные пользователи могут писать свои решения.
Лучший ответ к заданию выводится как основной

НАПИСАТЬ КОММЕНТАРИЙ

Мы ВКонтакте
Последние решения

SOVA ✎ Cоставляем уравнение плоскости ( см. приложение) d=|188*x_(A)+705*y_(A)+408*z_(A)-36096|/sqrt(188^2+705^2+408^2)= =|188*70+705*75+408*60-36096|/sqrt(698833)= =54419/sqrt(698833) к задаче 27927

SOVA ✎ f`(x)=x^2-4x f`(x)=0 x^2-4x=0 x*(x - 4) = 0 x=0 или х=4 - точки возможного экстремума. Исследуем знак производной f`(10)=10^2-4*10 > 0 __+_ (0) __-__ (4) ___+__ На (- ∞;0) и (4;+∞) функция возрастает На (0;4) убывает x=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на - у(0)=4 х=4 - точка минимума, производная меняет знак с - на + у(4)=(1/3)*4^3-2*4^2+4=(64/3)-32+4=(-20/3) Строим график к задаче 27925

SOVA ✎ F`(x)=3x^2-2x-1 F`(x)=0 3x^2-2x-1=0 D=(-2)^2-4*3*(-1)=4+12=16 x=(2-4)/6=-1/3 или х=(2+4)/6=1 [-1] _+___ (-1/3) ____-____ (1) ___+____ [2] F(-1)=(-1)^3-(-1)^2-(-1)+2=1 наименьшее значение F(-1/3)=(-1/3)^3-(-1/3)^2-(-1/3)+2=2(1/3)-(1/9)-(1/27) < 4 F(1)=1-1-1+2=1- наименьшее значение F(2)=2^3-2^2-2+2=4 наибольшее значение к задаче 27922

SOVA ✎ (14)^(9)=(2*7)^(9)=2^(9)*7^(9) 14^(9)/(2^(7)*7^(8))=(2^(9)*7^(9))/(2^(7)*7^(8))=2^(2)*7=4*7=28 к задаче 27917

SOVA ✎ Строим график функции у=|x| Cм. рис 1. На отрезке [-1;2] наименьшее значение в точке х=0 О т в е т. y(0)=0 - наименьшее значение функции на [-1;2] к задаче 27926