z`_(y)=24y^2-6x
Находим стационарные точки
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0
{3x^2-6y=0
{24y^2-6x=0
{x^2-2y=0
{4y^2 -x=0 ⇒ x=4y^2
(4y^2)^2-2y=0
16y^4-2y=0
2y*(8y^3-1)=0
y=0 или y=1/2
х=0 или х=1
Получили две стационарные точки.
Применяем теорему: достаточное условие существования точек экстремума.
Находим вторые частные производные
z``_(xx)=6x
z``_(xy)=-6
z``_(yy)=48y
Находим значения в стационарных точках
(1;1/2)
A=z``_(xx)(1;1/2)=6*1=6
C=z``_(xy)(1;1/2)=-6
B=z``_(yy)(1;1/2)=48*(1/2)=24
Δ(0;0)=AB-C^2=6*24-(-6)^2 > 0
Точка (1;1/2) является точкой экстремума
так как A=6 > 0 - то это точка минимума