Задача 33828 Исследовать на экстремум функцию...

kolya

23 февраля 2019 г. в 10:24

Исследовать на экстремум функцию z=x³+8y³–6xy+5

sova

23 февраля 2019 г. в 11:17

★

z`<sub>x</sub>=3x<sup>2</sup>–6y
z`_y=24y²–6x

Находим стационарные точки
{z`<sub>x</sub>=0
{z`_y=0

{3x²–6y=0
{24y²–6x=0

{x²–2y=0
{4y² –x=0 ⇒ x=4y²

(4y²)²–2y=0
16y⁴–2y=0
2y·(8y³–1)=0
y=0 или y=1/2

х=0 или х=1

Получили две стационарные точки.
Применяем теорему: достаточное условие существования точек экстремума.
Находим вторые частные производные
z``<sub>xx</sub>=6x
z``_xy=–6
z``_yy=48y

Находим значения в стационарных точках
(1;1/2)
A=z``<sub>xx</sub>(1;1/2)=6·1=6
C=z``_xy(1;1/2)=–6
B=z``_yy(1;1/2)=48·(1/2)=24

Δ(0;0)=AB–C²=6·24–(–6)² > 0
Точка (1;1/2) является точкой экстремума
так как A=6 > 0 – то это точка минимума