Задача 45433 требуется относительно каждой из...

vk564985849

2020-03-27 14:39:27

требуется относительно каждой из указанных последовательностей выяснить, имеет ли она предел (конечный или бесконечный), и, если предел существует, найти его.
Изобразить (приблизительно) на комплексной плоскости первые
пять членов последовательностей.
============================
предел я нашла =0, не понимаю, как доказать, что предел существует.

sova

2020-03-27 14:41:10

★

Рассматриваем разность

[m]|z_{n}-0|=|(\frac{1}{\sqrt{3} -i})^{n^2}-0|=|(\frac{1}{2})^{n^2}|=(\frac{1}{2})^{n^2}[/m]

Решаем неравенство:
[red][m](\frac{1}{2})^{n^2}[/m] < ε[/red]

[m]2^{n^2}>\frac{1}{ ε }[/m]

[m] n^2>log_{2}\frac{1}{ ε }[/m]

Поэтому достаточно взять номер n_( ε )=[[m] n>\sqrt{log_{2}\frac{1}{ ε }}[/m]]+1

А дальше все как обычно:
для любого ε > 0 найдется номер n_( ε )=[[m] \sqrt {log_{2}\frac{1}{ ε }}[/m] ]+1
такой, что для всех номер n > n_( ε )

выполняется неравенство

[m]|z_{n}-0|=(\frac{1}{2})^{n^2}[/m] <[red] ε [/red]

(дробь в середине вообще-то не нужна, это для пояснения)

Что и означает, что limz_(n)=0 при n → ∞