Задача 23138 9.3.157) Цилиндр, основанием которого...

slava191

31.01.2018

9.3.157) Цилиндр, основанием которого служит эллипс 4х^2 + 25у^2 = 400 пересечен наклонной плоскостью, проходящей через малую ось эллипса. Высота полученного «цилиндрического клина» равна 5. Найти его объем.

SOVA

01.02.2018

★

Запишем каноническое уравнение эллипса
(x^2/100)+(y^2/16)=1
a=10
b=4

Составим уравнение плоскости, проходящей через малую ось.
Общий вид уравнения
Ax+By+Cz=0
Точка (10;0;5) принадлежит плоскости, значит
А*10+В*0+С*5=0
С=-2А

Точка (0;4;0) принадлежит плоскости ⇒ В=0

Итак, уравнение плоскости
x-2z=0

V= ∫ ∫ _(по половине эллипса)(х/2) dxdy

переходим к обобщенным полярным координатам.
х=10rcos phi
y=4rsin phi
Модуль якобиана
|J|=10*4*r

0 меньше или равно r меньше или равно 1
-Pi/2 меньше или равно phi меньше или равно Pi/2

V= 200∫ ^1_(0)dr ∫ ^(Pi/2)_(-Pi/2)r*rcos phi d phi =

=200*(r^3/3)|^(1)_(0)(sin phi )|^(Pi/2)_(-Pi/2)=400/3