Задача 47771 Решите, пожалуйста, интеграл! По...

anastasi

2020-04-21 10:32:55

Решите, пожалуйста, интеграл! По возможности не используя sec

sova

2020-04-21 11:18:17

★

4x^2+4=4(x^2+1)

sqrt(4x^2+4)=2sqrt(x^2+1)

Есть готовая формула( см. 18)

∫ ^(π)_(0)sqrt(4x^2+4) dx=2 ∫ ^(π)_(0)sqrt(x^2+1)dx=

=2*(x/2)*sqrt(x^2+1)|^(π)_(0) +(1/2)ln|x+sqrt(x^2+1)||^(π)_(0)=

=π*sqrt(π^2+1)-0 + (1/2) ln |π+sqrt(π^2+1)|-(1/2)ln|0+sqrt(1+0)|=

=π*sqrt(π^2+1)+ (1/2) ln |π+sqrt(π^2+1)|


Эти формулы были получены с помощью интегрирования по частям два раза.

Так же можно получить их с помощью тригонометрических подстановок.

Поэтому можно решать по частям.
u=sqrt(x^2+1)
dv=dx

Тригонометрические подстановки ( cм приложение 2)

x=tgt ⇒
x^2+1=tg^2t+1

Формула

tg^2t+1=1/cos^2t