Задача 15234 Решите неравенство...

slava191

22.04.2017

Решите неравенство log(1-x)(1+x-2x^2)+(1/4)log(1+2x)(x^2-2x+1)^2 больше или равно -1

SOVA

23.04.2017

★

ОДЗ:
{1-x > 0 ⇒ x < 1
{1-x≠1 ⇒ x≠0
{1+x-2x^2 > 0 ⇒ D=1-4*(-2)*1=9 корни (-1/2) и 1 ⇒ (1/2; 1)
{1+2x > 0 ⇒ x > -1/2
{1+2x≠1 ⇒ x≠0
{(x^2-2x+1)^2 > 0 ⇒ x≠1
ОДЗ: (-1/2;0)U(0;1)

(1/4) log_(1+2х)(x^2-2x+1)^2=(1/4) log_(1+2х)(x-1)^4=
=log_(1+2х)|x-1|
Так как при х∈ (-1/2;0)U(0;1)
|x-1|=1-x
и
log_(1-x)(1+x-2x^2)=log_(1-x)(1-x)(2x+1)=log_(1-x)(1-x)+log_(1-x)(2x+1)=1+log_(1-x)(2x+1)
неравенство принимает вид
log_(1-x)(2x+1)+log_(1+2x)(1-x) больше или равно -2.
Замена
log_(1-x)(2x+1)=t;
log_(1+2x)(1-x)=1/t
t+(1/t) больше или равно -2
(t^2+2t+1)/t больше или равно 0
_-__ [-1] _-__ (0) __+_

t=-1 или t > 0

log_(1-x)(2x+1)=-1 или log_(1-x)(2x+1) > 0
1)
log_(1-x)(2x+1)=-1
2x+1=1/(1-x)
(2x+1)(1-x)=1
2x^2-x=0
x(2x-1)=0
x=0 или х=1/2
0∉ ОДз
О т в е т. 1) х=1/2
2)
log_(1-x)(2x+1) > 0
Заменим
0= log_(1-x)1
Перепишем неравенство в виде:
log_(1-x)(2x+1) > log_(1-x)1
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств
(1-х-1)*(2х+1-1) > 0
-х*2x > 0
-2x^2 > 0 - неверно, так как x^2 больше или равно 0 при любом х
нет решений
О т в е т. х=1/2