Задача 42049 Найти общее...

kelpy

2019-11-28 20:20:27

Найти общее решение:
y''-3y'+2y=3x+5*sin(2x)

sova

2019-11-28 20:42:25

★

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
f(x)=f_(1)(x)+f_(2)(x)

Решаем однородное:
y''–3y'+2y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-3k+2=0
D=9-2*4=9-8=1

k_(1)=1; k_(2)=2 - корни действительные различные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*e^(x)+C_(2)*e^(2x)


частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=[b]y_(част 1)+y_(част 2)[/b]

y_(част 1) соответствует f_(1)(x)=3х

y_(част 1) =Ax+B

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част1)=A

y``_(част)=0

подставляем в данное уравнение:

0-3*A+2*(Ax+B)=3x

2A=3 ⇒ [b]А=3/2[/b]
2B-3A=0 ⇒[b] B=A/2=3/4[/b]

y_(част 1)=[green](3/2)x+(3/4)[/green]


f_(2)(x)=5*sin2x
y_(част 2) =Mcos2x+Nsin2x

y`_(част 2) =2M*(-sin2x)+2Ncos2x

y``_(част 2) =-4Mcos2x-4Nsin2x


-4Mcos2x-4Nsin2x-3*(2M*(-sin2x)+2Ncos2x)+2*(Mcos2x+Nsin2x)=5*sin2x

(6M-2N)sin2x+(-2M-6N)cos2x=5*sin2x

{6M-2N=5
{-2M-6N=0 ⇒ M=-3N

6*(-3N)-2N=5

-20N=5

N=-1/4

N=3/4

y_(част 2) =[blue](-1/4)cos2x+(3/4)sin2x[/blue]

Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част 1)+y_(част 2) =

= С_(1)*e^(x)+C_(2)*e^(2x)+[green](3/2)x+(3/4)[/green]+[blue](-1/4)cos2x+(3/4)sin2x[/blue]