Задача 52744 Проверить, является ли векторное поле...

vk240807630

2020-06-27 15:32:40

Проверить, является ли векторное поле потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал.

F = (x + 6yz)i + (y + 6xz)j + (z + 6xy)k.

sova

2020-06-28 11:17:55

★

[m]rot \vec{a}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} &\frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ x+6yz&y+6xz &z+6xy \end{vmatrix}=[/m]

[m]=6x\vec{i}+6y\vec{j}+6z\vec{k}-6z\vec{k}-6x\vec{i}-6z\vec{k}=0[/m]


⇒ поле [i]потенциальное[/i]

[m]u(M)= ∫ ^{x}_{0}xdx+ ∫ ^{y}_{0}ydy+ ∫ ^{z}_{0}(z+6xy)dz=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}+6xyz[/m]

Проверка:

[m]grad u(M)=u`_{x}(M)\vec{i}+u`_{y}(M)\vec{j}+u`_{z}(M)\vec{k}=[/m]

[m]=(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}+6xyz)`_{x}\vec{i}+[/m]

[m]+(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}+6xyz)`_{y}\vec{j}+[/m]

[m]+(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}+6xyz)`_{x}\vec{k}=[/m]

[m]=(x+6yz)\vec{i} + (y + 6xz)\vec{j} + (z + 6xy)\vec{k}[/m]