Задача 29133 Решить дефферинцал: y''+9y=27/3cos3x ,...
Условие
y''+9y=27/3cos3x , y(0)=1 , y'(0)=0
Решение
y``+9y=0
Составляем характеристическое
k^2+9=0
k_(1)=-3i; k_(2)=3i
y_(одн.)=С_(1)*cos3x+C_(2)sinx3x
Правая часть f(x) =9/cos3x
Для нахождения частного решения применяем метод вариации произвольных постоянных
y=C_(1)(x)*sin3x+C_(2)(x)*cos3x
Согласно методу вариации C_(1)(x) и С_(2)(x) находим из системы:
{y_(1)x*C`_(1)(x)+y_(2)*C`_(2)(x)=0
{C`_(1)(x)*y`_(1)(x)+C`_(2)(x)*y`_(2)(x)=9/(cos3x)
y_(1)(x)=sin3x;
y_(2)(x)=cos3x
Решаем систему:
{sin3x*C`_(1)(x)+cos3x*C`_(2)(x)=0
{3*C`_(1)(x)cos3x - 3*C`_(2)sin3x=9/cos3x;
Из первого выражаем C`_(1)(x)=-C`_(2)(x)cos3x/sin3x и подставляем во второе
-3C_(2)(x)*(sin^23x+cos^23x)/sin3x=9/cos3x
С`_(1)(x)=3 ⇒ C_(1)(x)=∫3dx= 3x+C_(3)
C`_(2)(x)=-3tg3x ⇒ C_(2)(x)= ∫ (-3tgx)dx= =∫d(cos3x)/(cos3x)=ln|cos3x|+C_(4)
Общее решение данного уравнения
[b]y=(3x+C_(3))*sin3x+(lncos3x+C_(4))*cos3x[/b]
Решение задачи Коши:
y(0)=1
y`(0)=0
Находим
y(0)=C_(4)
C_(4)=1
y`=3*sin3x+3*(3x+C_(3))*cos3x+(-3tg3x)*cos3x+(lncos3x+C_(4))*(-3sin3x)
y`(0)=3C_(3)
3C_(3)=0
Частное решение ( решение задачи Коши) данного уравнения
[b]y=(3x)*sin3x+(lncos3x+1)*cos3x[/b]