Задача 52876 ...

zzasd95

17 июля 2020 г. в 13:05

Решить неравенство

sova

17 июля 2020 г. в 18:13

По свойствам степени:
9^x=(3²)^x=(3^x)²
3^x+1=3^x·3¹=3·3^x

Замена переменной:
3^x=t
Так как показательная функция неотрицательна при любом х
⇒ t>0
9^x=t²

Неравенство принимает вид:

[m]\frac{t^2-t-2}{t^2-t}+\frac{5t-19}{t-4}\leq \frac{6t-2}{t}[/m]

[m]\frac{t^2-t-2}{t(t-1)}-\frac{6t-2}{t}+\frac{5t-19}{t-4}\leq 0[/m]

Приводим к общему знаменателю первые две дроби:

[m]\frac{t^2-t-2-(6t-2)(t-1)}{t(t-1)}+\frac{5t-19}{t-4}\leq 0[/m]

[m]\frac{t^2-t-2-6t^2+2t+6t-2}{t(t-1)}+\frac{5t-19}{t-4}\leq 0[/m]

[m]\frac{-5t^2+7t}{t(t-1)}+\frac{5t-19}{t-4}\leq 0[/m]

Приводим к общему знаменателю:

[m]\frac{(-5t^2+7t)(t-4)+(5t-19)(t^2-t)}{t(t-1)(t-4)}\leq 0[/m]

[m]\frac{-5t^3+7t^2+20t^2-28t+5t^3-19t^2-5t^2+19t}{t(t-1)(t-4)}\leq 0[/m]

[m]\frac{3t^2-9t}{t(t-1)(t-4)}\leq 0[/m]

[m]\frac{3t(t-3)}{t(t-1)(t-4)}\leq 0[/m]

так как t > 0 ⇒ t ≠ 0

[m]\frac{t-3}{(t-1)(t-4)}\leq 0[/m]

Решаем методом интервалов:

нули числителя : t=3

отмечаем на числовой прямой закрашенным кружком ( квадратные скобки на рисунке)

нули знаменателя : t=1; t=4

отмечаем на числовой прямой пустым кружком (круглые скобки на рисунке):

(0) __–__ (1) _____+____________ [3] __–__ (4) __+____

⇒ 0< t < 1 или 3 ≤ t <4

Обратная замена:

0< 3^x < 1 или 3 ≤ 3^x <4

Показательная функция с основанием 3 (3>1) возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

Знаки неравенства сохраняются:
[m]\left\{\begin{matrix} 3^{x}<1\Rightarrow 3^{x}<3^{0}\Rightarrow x <0\\ 3^{x}>0\Rightarrow x\in (-\infty ;\infty) \end{matrix}\right.[/m] или[m]1\leq x < log_{3}4[/m]


О т в е т. (– ∞ ;0) U[1;log₃4)