Задача 45295 1. Найти площадь фигуры, ограниченной...

alek10393

2020-03-24 13:35:49

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями system{x=cos^(3)t, y=2sin^(3)t}, y=0 при y>=0.

sova

2020-03-24 13:48:41

★

Это астроида. Фигура симметрична относительно оси оу.
Поэтому считаем площадь только в первой четверти и умножаем ответ на 2.

Формула для вычисления площади кривой, заданной параметрически:
S= ∫ ^(t_(2))_(t_(1)) y(t)*x`(t)dt

Точке x=0 соответствует значение параметра t=π/2
Точке x=2 соответствует значение параметра t=0


S=2* ∫ ^(0)_(π/2)2sin^3t*2*(3cos^2t)*(-sint)dt=

=24*∫ ^(π/2)_(0)sin^4tcos^2tdt=

понижаем степени:

=24*∫ ^(π/2)_(0)((1-cos2t)/2)^2*(1+cos2t)/2dt=