Задача 29205 Найдите наибольшее целое решение...

U18517135116

8 апреля 2018 г. в 00:00

Найдите наибольшее целое решение неравенства

9^{log₆ x} + 2x^{log₆ 9} < 3 · x^{2 log_x 3}

SOVA

8 апреля 2018 г. в 00:00

ОДЗ:
{x > 0;
{x ≠1

Так как
9^log₆x=x^log₆9
в чем легко убедиться прологарифмировав выражение по основанию 6 и применив свойства логарифма степени
log₆9^log₆x=log₆x^log₆9;
log₆x · log₆9 = log₆9· log₆x – верно

Неравенство принимает вид
9^log₆x +2·9^log₆x < 3·x^2log_x3.

3·9^log₆x < 3·x^log_x32.

Делим на 3 и применяем основное логарифмическое тождество

9^log₆x < 9

Показательная функция c основанием 9 > 1 возрастает, поэтому

log₆ x < 1

1=log₆6

log₆ x < log₆6

Логарифмическая функция с основанием 6 > 1 возрастает, поэтому

x < 6

С учетом ОДЗ решение неравенства (0;1)U(1;6)

Наибольшее целое x=5

О т в е т. 5