Задача 29078 7. Испытывается устройство, состоящее из...

slava191

24 июля 2018 г.

7. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы: p1=0,3; p2 = 0,4; p3 = 0,5; p4 = 0,6. Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.

SOVA

24 июля 2018 г.

★

Пусть случайная величина Х – число отказавших приборов.
Х может принимать значения 0, 1, 2, 3 или 4.

Составим закон распределения этой дискретной случайной величины.

Считаем вероятность наступления каждого значения случайной величины.
Так как по условию
p₁=0,3; p₂ = 0,4; p₃ = 0,5; p₄ = 0,6, то
q₁=1–p₁=1–0,3=0,7;
q₂=1–p₂=1–0,4=0,6;
q₃=1–p₃=1–0,5=0,5;
q₄=1–p₄=1–0,6=0,4

1) значение случайной величины X=0, значит не отказал ни один прибор.
p(0)=q₁·q₂·q₃·q₄=
=0,7·0,6·0,5·0,4=0,084;

2) значение случайной величины X=1, значит отказал один из приборов.
p(1)=p₁·q₂·q₃·q₄+q₁·p₂·q₃·q₄+
+q₁·q₂·p₃·q₄+q₁·q₂·q₃·p₄=
=0,3·0,6·0,5·0,4+0,7·0,4·0,5·0,4+0,7·0,6·0,5·0,4+0,7·0,6·0,5·0,6= 0,036 + 0,056 + 0,084 + 0,126 = 0,302.

3) значение случайной величины X=2, значит отказали два прибора.
p(2)=p₁·p₂·q₃·q₄+p₁·q₂·p(3)·q₄+
+p₁·q₂·q₃·p₄+q₁·p₂·p₃·q₄+
+q₁·p₂·q(3)·p₄+q₁·q₂·p₃·p₄=
=0,3·0,4·0,5·0,4+0,3·0,6·0,5·0,4+0,3·0,6·0,5·0,6+0,7·0,4·0,5·0,4+0,7·0,4·0,5·0,6+0,7·0,6·0,5·0,6= 0,024 + 0,036 +0,054 + +0,056 + 0,084 + 0,126 = 0,38.

4) значение случайной величины X=3, значит отказали три прибора.
p(3)=p₁·p₂·p₃·q₄+p₁·p₂·q₃·p₄+
+p(1)·q₂·p₃·p₄+q₁·p₂·p₃·p₄=
=0,3·0,4·0,5·0,4+0,3·0,4·0,5·0,6+0,3·0,6·0,5·0,6+0,7·0,4·0,5·0,6= 0,024 + 0,036 + 0,054 + 0,084 = 0,198.


5) значение случайной величины X=4, значит отказали все приборы.
p(4)=p₁·p₂·p₃·p₄=0,3·0,4·0,5·0,6=0,036

Получаем закон распределения:
Х=0; p(0)=0,084
X=1; p(1)=0,302
X=2; p(2)=0,38
X=3; p(3)=0,198
X=4; p(4)=0,036.

Математическое ожидание:
M(X)=0·0,084+1·0,302+2·0,38+3·0,198+4·0,036=1,8

Дисперсия:
D(x)=M(X²)–(M(X))²=
=0·0,084+1·0,302+2²·0,308+3²·0,198+4²·0,036=4,18–(1,8)²=4,18–3,24=0,94

О т в е т. М(Х)=1,8; D(X)=0,94