Задача 37938 ...

vk436820776

4 июня 2019 г. в 19:10

Решите интеграл ∫ dx / (2sinx+3cosx)

sova

4 июня 2019 г. в 19:25

Универсальная подстановка
tg(x/2)=t

x/2= arctgt
x=2arctgt
dx=2dt/(1+t²)

sinx=2t/(1+t²)
cosx=(1–t²)/·(1+t²)


∫ dx/(2sinx+3cosx)= ∫ 2dt/(4t+3–3t²)=(–2/3) ∫ dt/(t²–(4/3)t+1)=

выделяем полный квадрат

t²–2·(2/3)t+(4/9)–(4/9)+1=((t–(2/3))²+(5/9)


=(–2/3)·(1/√5/9) arctg (t/√5/9)+C=

= (–2/√5) arctg (3tg(x/2))/√5 +C