Задача 37938 ...

vk436820776

2019-06-04 19:10:34

Решите интеграл ∫ dx / (2sinx+3cosx)

sova

2019-06-04 19:25:25

Универсальная подстановка
tg(x/2)=t

x/2= arctgt
x=2arctgt
dx=2dt/(1+t^2)

sinx=2t/(1+t^2)
cosx=(1-t^2)/*(1+t^2)


∫ dx/(2sinx+3cosx)= ∫ 2dt/(4t+3-3t^2)=(-2/3) ∫ dt/(t^2-(4/3)t+1)=

выделяем полный квадрат

t^2-2*(2/3)t+(4/9)-(4/9)+1=((t-(2/3))^2+(5/9)


=(-2/3)*(1/sqrt(5/9)) arctg (t/sqrt(5/9))+C=

= [b](-2/sqrt(5)) arctg (3tg(x/2))/sqrt(5) +C[/b]