Задача 29546 В остроугольном треугольнике АВС...

slava191

2018-09-09 13:07:22

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АН и С К . Найдите радиус описанной около треугольника АВС окружности, если НК = 2sqrt(2) , а площади треугольников АВС и ВНК равны 18 и 2 соответственно. [9.49]

sova

2018-09-09 16:02:33

Из прямоугольного треугольника АВН:

BH=AB*cos∠ B

Из прямоугольного треугольника ВКС
BK=BC*cos∠ B

cos∠ B=BH/AB=BK/BC

Треугольники АВС и НВК подобны,
так как угол В - общий и стороны, заключающие этот угол пропорциональны

По условию
S( Δ АВС) : S( Δ BHK)=18 : 2 = 9

Площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон,

АС^2 : HK^2 = 9 ⇒ АС : HK = 3

BH/AB=BK/BC=HK/AC=1/3

AC=3HK=6sqrt(2)

cos∠ B=BH/AB=1/3

sin∠ B=sqrt(1-cos^2∠ B)=[m]\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}[/m];


По теореме синусов:
[m]\frac{AC}{sin\angle B}=2R[/m] [m]\Rightarrow R=\frac{AC}{2sin\angle B}[/m]

[m]R=\frac{6\sqrt{2}}{2\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{9}{2}=4,5[/m]

О т в е т. 4,5