Задача 25511 Найти коэффициент при x^(46) в...

slava191

27.03.2018

Найти коэффициент при x^(46) в разложении данного выражения (1-x^4+x^6)^(14) по полиномиальной формуле, полученной после раскрытия скобок и приведения подобных членов.

SOVA

27.03.2018

★

Общий член разложения по полиномиальной формуле имеет вид:
1^(m)*(-x^4)^(n)*(x^6)^(k)
При этом
m+n+k=14
4n+6k=46 ⇒ 2n+3k=23 ⇒ 2n=23-3k

k=1; n=10 и m=14-1-10=3
k=3; n=7 и m=4
k=5; n=4 и m=5
k=7; n=1 и m=6

Итак получаем 4 слагаемых, содержащих x^(46)

P(3;10;1)*1^(3)*(-x^(4))^(10)*(x^(6))^(1)
P(4;7;3)*1^(4)*(-x^(4))^(7)*((x^(6))^(3)
P(5;4;5)*1^(5)*(-x^(4))^(4)*((x^(6))^(5)
P(6;1;7)*1^(6)*(-x^(4))^(1)*((x^(6))^(7)

Cкладываем:
(14!*(1^3/(3!*10!*1!))-14!*(1^4/(4!*7!*3!))+14!*(1^5/(5!*4!*5!))-14!*(1^6/(6!*1!*7!))x^(46)=

=14!*(43/10!)-(31/7!*6!))x^(46)

О т в е т. 11*12*13*14*43-11*12*13*14*31=
=11*12*13*14*(43-31)=288 288