Задача 25511 Найти коэффициент при x^(46) в...

slava191

27 марта 2018 г.

Найти коэффициент при x⁴⁶ в разложении данного выражения (1–x⁴+x⁶)¹⁴ по полиномиальной формуле, полученной после раскрытия скобок и приведения подобных членов.

SOVA

27 марта 2018 г.

★

Общий член разложения по полиномиальной формуле имеет вид:
1^m·(–x⁴)ⁿ·(x⁶)^k
При этом
m+n+k=14
4n+6k=46 ⇒ 2n+3k=23 ⇒ 2n=23–3k

k=1; n=10 и m=14–1–10=3
k=3; n=7 и m=4
k=5; n=4 и m=5
k=7; n=1 и m=6

Итак получаем 4 слагаемых, содержащих x⁴⁶

P(3;10;1)·1³·(–x⁴)¹⁰·(x⁶)¹
P(4;7;3)·1⁴·(–x⁴)⁷·((x⁶)³
P(5;4;5)·1⁵·(–x⁴)⁴·((x⁶)⁵
P(6;1;7)·1⁶·(–x⁴)¹·((x⁶)⁷

Cкладываем:
(14!·(1³/(3!·10!·1!))–14!·(1⁴/(4!·7!·3!))+14!·(1⁵/(5!·4!·5!))–14!·(1⁶/(6!·1!·7!))x⁴⁶=

=14!·(43/10!)–(31/7!·6!))x⁴⁶

О т в е т. 11·12·13·14·43–11·12·13·14·31=
=11·12·13·14·(43–31)=288 288